Графическая технология решения позиционных задач на касание плоскости и поверхности и сопряжение поверхностей

16.6.1. Касание плоскости и поверхности

Определение 16.1. Плавное соеди-нение двух элементов эвклидова про-странства (плоскости и поверхности, двух поверхностей), при котором об-щий для них элемент принадлежит ка-сательной к ним плоскости называ-ется их касанием.

Если плоскость a касательна к по-верхности Ф, то, в зависимости от стру-ктуры последней их общим элементом может быть одна её обыкновенная точ-ка (см. рис.5.59), одна её прямолиней-ная образующая (см. рис.5.63, две пе-ресекающиеся прямые (см. рис.5.58, б) или одна плоская кривая (см. рис.5.58).

Утверждение 16.4. Плоскость a,заданная двумя пересекающимися пря-мыми, каждая из которых касательна к поверхности Ф в её обыкновенной точке А, является плоскостью, каса-тельной к поверхности.

Отсюда следует общий порядок по-строения плоскости, касательной к по-верхности (рис.16.68):

1. Через точку А (А₁, А₂) поверхнос-ти Ф (Ф₁,Ф₂) провести параллель а (а₁, а₂) и меридиан b (b₁,b₂);

2. Через точку А (А₁, А₂) провести прямую t ¹ (t₁¹, t₂¹), касательную к парал-лели а (t¹₁ ^ b₁, t₁² ^ t₁¹) и прямую t² (t²₁, t²₂), касательную к меридиану b (t²₁ ^ t¹_{1 ,} f²₂Î A₂ Ù 1₂ = t²₂¢ ´ i₂ ).

Плоскость a (t¹ ´ t²) является иско-мой.

Определение 16.2. Поверхность, все точки которой располагаются по одну сторону от плоскости, касате-льной к ней в любой её обыкновенной точке, называется выпуклой.

Точки выпуклой поверхности явля-ются эллиптическими, по виду эллипти-ческой индикатрисы Дюпена (см. рис.5. 65).

Пример 16.23. Построить двухкар-тинный чертёж плоскости a, касатель-ной к цилиндрической поверхности Ф (рис. 16.69).

Решение: 1. Через точку А (А₁, А₂) про-вести прямую е (е₂, е₁), параллельную об-разующим поверхности Ф и построить точ-

ку А¢ (А₂¢, А₁¢) её встречи с плоскостью ос-

нования n (n₁, n₂)поверхности Ф;

2. Через точку А₁¢ провести касатель-

ные а₁ и b₁ к основанию n₁ проекции Ф₁ по-верхности Ф и отметить точки 1₁ и 2₁ их ка-сания;

3. Через точки 1 (1₁,1₂) и 2 (2₁,2₂) про-вести образующие l¹ и l² поверхности Ф, ко-торые попарно с прямой е и касательными а и b определяют искомые плоскости a и b, касательные к поверхности Ф.

Утверждение 16.5 Если одна из прямых, определяющих плоскость a, касательную к поверхности Ф в обы-кновенной точк е А совпадает с её об-разующей, то такая поверхность яв-ляется развёртываемой.

К числу таких поверхностей отно-сятся торсовые – цилиндрические, ко-нические и с ребром возврата.

Все точки торсовых поверхностей являются параболическими, по виду ин-дикатрисы Дюпена (см. рис. 5.68)

Пример 16.24. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж плоскостей a и b, проходящих через точку А и касатель-ную к конической поверхности Ф (рис.16. 70).

Рис. 16.70. Графическая модель плоскостей

a и b, проходящих через точку А и касательных к конической поверхности Ф

Решение: 1.Из вершины S (S₁,S₂) cп-роецировать точку А (А₁, А₂) на плоскость основания n поверхности Ф и построить её проекции А₂¢ и А₁¢;

2. Из А₁¢ провести касательные t₁¹ и t₁² к проекции n₁ основания n конуса Ф и отме-тить проекции 1₁ и 2₁ точек касания;

3. Соединить точки касания 1₁, 2₁ с S₁ и

построить 1₂S₂, 2₂S₂. Треугольники S A¢1 и

Рис.16.71. Графическая модель плоскости a, касательной к поверхности вращения Ф, состоящей из гиперболических точек

a

Рис.16.72. Графическая модель двух вертикальных цилиндрических поверхностей, сопряженных двумя плоскостями

S A¢ 2 определяют искомые плоскости a и b, касательные к поверхности Ф.

Пример 16.25. Построить двухкартин - ный комплексный чертёж плоскости a касательной к поверхности вращения Ф в её обыкновенной точке А (рис.16.71 )

1.Провести параллель а (а₂, а₁) и меридиан b (b₁, b₂). Так как b₁ на чертеже – радиальная прямая, то b₂ строится по b₁ на основе графического моделирования отно-шения принадлежности её точек к поверх-ности Ф;

2. Через точку А (А₁, А₂) провести каса-тельную t¹ (t₁¹, t₂¹) к параллели а (а₁, а ₂):

(t¹ ^ 1₁ A₁, t₂ º a₂.) и касательную t² (t₁², t₂²) к

меридиану b (b₁, b₂): (t₁² º 1₁ A₁, t₂² º 1₂A ₂);

Касательные t¹ и t² к линиям а и b на поверхности Ф определяют искомую плос-кость a, касательную к этой поверхности.

Плоскость a, касательная к поверхности Ф в обыкновенной точке А, пересекает её по кривой m, проекции m₁ и m₂ которой строятся по графической технологии по-строения линии пересечения плоскости и поверхности вращения (см. п.16.2).

Утверждение 16.6. Если плоскость, касательная к поверхности в её обык-новенной точке, пересекает её, то такая поверхноcть является двояко-выпуклой.

К числу таковых относятся прямо-линейчатые поверхности Каталана, по-верхности о 3-х направляющих, с на-правляющей плоскостью, а также пове-рхности каналовые, циклические, кино-перспективные и многие из числа пове-рхностей вращения.

Все обыкновенные точки двояко-выпуклых поверхностей являются ги-перболическими, по виду их индика-трисы Дюпена (см. рис. 5.66).