Если производная ф-и f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то ф-я f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.
Ф-я f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 (x1 меньше x2) этого промежутка справедливо неравенство: f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).
Необходимое условие возр (убыв) ф-и: если диф-мая ф-я y=f(x) возр (убыв) на интервале (a,b), то в любой точке х этого интервала f’(x)≥0 (f’(x)≤0).
Геометрически это означает, что в каждой точке графика возраст ф-и касательная или образует острый угол с осью Ox или параллельная с ней, а в каждой точке графика убывающей ф-и касательная или образует тупой угол с осью Ox или параллельна с ней.
Например, ф-я у=х3 – возрастающая. (f’(0)=0)
Достаточное условие: Если производная диф-ой ф-и положительна (отрицательна) повсюду (т.е. ф-я непрерывно возрастает или убывает повсюду), исключая лишь разве конечное число х, ф-я будет возрастать (убывать). Разделить интервалы непрерывности могут лишь точки, в которых f’(x)=0.
|
|
Точка, в которой производная обращается в ноль называется стационарной. Но не каждая стац точка может разделять интервалы монотонности.
Пример. f(x)=x2, f’(0)=0, x=0 стац точка
Пример. f(x)=|x|, но f’(0) не существует
Пусть ф-я определена и непрерывна на некотором интервале (a,b) и содержит точку хо. Точка хо называется точкой максимума (минимума) ф-и y=f(x), если в некоторой окрестности точки хо для всех х ≠ хо выполняется неравенство f(x)≤f(хо) (f(x)≥f(хо)).
Точки min и max – точки экстремума. Значение ф-и в этих точках называется max (min) ф-и, экстремумом ф-и.
Необходимое условие локального экстремума диф-ой ф-и, но недостаточное: если диф-я ф-я имеет в точке хо экстремум, то производная f’(xo)=0.
Если расширить класс рассматриваемых ф-ий и допустить, что в отдельных точках производная равна ∞ или вовсе не сущ-ет, то экстремум может прийти на какую-либо из этих точек.
Теорема об необходимом условии локального экстремума: если ф-я f(x) имеет в точке хо локальный экстремум, то производная в этой точке обращается в 0, ∞ или вовсе не сущ-ет (критические точки по первой производной).
14. Необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемых функций с геометрической интерпретацией. нахождение интервалов монотонности функции.
Если производная ф-и f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то ф-я f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.
Ф-я f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 (x1 меньше x2) этого промежутка справедливо неравенство: f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).
|
|
Необходимое условие возр (убыв) ф-и: если диф-мая ф-я y=f(x) возр (убыв) на интервале (a,b), то в любой точке х этого интервала f’(x)≥0 (f’(x)≤0).
Геометрически это означает, что в каждой точке графика возраст ф-и касательная или образует острый угол с осью Ox или параллельная с ней, а в каждой точке графика убывающей ф-и касательная или образует тупой угол с осью Ox или параллельна с ней.
Например, ф-я у=х3 – возрастающая. (f’(0)=0)
Достаточное условие: Если производная диф-ой ф-и положительна (отрицательна) повсюду (т.е. ф-я непрерывно возрастает или убывает повсюду), исключая лишь разве конечное число х, ф-я будет возрастать (убывать). Разделить интервалы непрерывности могут лишь точки, в которых f’(x)=0.
Точка, в которой производная обращается в ноль называется стационарной. Но не каждая стац точка может разделять интервалы монотонности.
Пример. f(x)=x2, f’(0)=0, x=0 стац точка
Пример. f(x)=|x|, но f’(0) не существует
15*. Необходимые и достаточные условия экстремума функции с геометрической интерпретацией и конкретынми примерами.
Пусть ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором интервале (a,b), Содержащем точку x0. x0 называют точкой max (min) ф-ии f(x), если существует такая δ-окрестность точки x0 , что для всех x≠x0 этой окрестности выполняется нер-во f(x)≤f(xo) (f(x) ≥f(xo))/ Точки min и max- т. экстемума.
Значение ф-ии в этих точках- min(max) ф-ии (экстремум ф-ии).
Необходимое условие локального экстремума:
Если деф-я ф-я имеет в т.xo локальный экстремум, то производнаяа в этой точке f'(xo)=0, ∞ или вовсе не существует.(Критические точки по 1ой производной)
{Если допустить, что в отдельных точках производная равна ∞ или вовсе не существует, то экстремум может прийти на какую-либо из этих точек.}
Достаточное условие:
1.Пусть x0-критическая точка ф-ии f(x),если при переходе через точку xo слева направо производная f'(x) меняет знак с + на – (с - на+), то ф-я f(x) в точке x0 имеет локальный max(min). Если ф-я не меняет знака в δ-окестности т. x0, то данная ф-я не имеет в этой точке локального экстремума.
2.Если первая производная дважды диф. Ф-ии =0 в нек. т. x0, а 2ая производная в этой же точке положительна (отрицательна), то x0- точка локального min(max).
f'’(x0)>0 x0 – т.min, f'’(x0)<0 x0 – т.max
3. Предположим, что ф-я f(x) в некоторой окрестности т. x0 n раз непрерывно дифференцируема, те имеет непрерывные производные до n-ого порядка включительно.
Пусть все ф-ии f'(x0)= f’’(x0)=…=f(n-1)(x0)=0, а fn(x0)≠0. Если n-нечетное, то в точке x0 экстремума нет, если n-четное, то x0 – точка экстремума, причем точка max, если fn(x0)<0, min, если fn(x0)>0.
Для нахождения наибольшего или наименьшего значения f(x) на отрезка [a,b] нужно из значения ф-ии на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее и наименьшее.
Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба и геометрический смысл перегиба. Схема нахождения точек перегиба с демонстрацией на конкретных примерах.
Кривая называется выпуклой вверх (вниз) на интервале (a,b), если на этом интервале кривая расположена не выше (не ниже) касательной к графику ф-и, проведенной в любой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости: если вторая производная f’’(x) ф-и f(x) положительна (отрицательна) на промежутке Х, то ф-я явл выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.
Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.
Необходимое условие точек перегиба, но недостаточное: если f(x) дважды непрерывно диф-ая ф-я на некотором промежутке, то в точках перегиба кривой у=f(x), лежащих на этом промежутке f’’(x)=0.
Например, f(x)=x3, f’’(0)=0
Достаточное условие: если в некоторой окрестности точки хо f’’(x) непрерывна всюду, кроме быть может самой этой точки (в ней f’’(x) может и не сущ-ть) и при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак, то в точке хо график ф-и имеет перегиб.
|
|
Схема исследования ф-и на выпуклость и точки перегиба:
1. найти f’’(x)
2. найти точки, в которых f’’(x)=0 или не сущ-ет
3. исследовать знак f’’(x) слева и справа от каждой из найденных точек, сделать вывод об интервалах выпуклости, наличии точек перегиба
4. найти значения ф-и в точках перегиба.
Например.