Интегрирование рациональных дробей

► Запишите определение рациональной дроби или дробно-рациональной функции.

► Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной? Приведите примеры.

► Какая рациональная дробь называется несократимой?

► Запишите определение простейших дробей І, ІІ, ІІІ и IV типов.

► В каком виде можно представить неправильную рациональную дробь?

► Запишите разложение многочлена -ой степени на простейшие множители в трех случаях:

1) все корни многочлена действительные и различные;

2) все корни многочлена действительные, но среди них есть кратные;

3) среди корней многочлена есть комплексные.

► Запишите разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

► Приведите примеры простейших дробей І, ІІ, ІІІ и IV типов.

► Запишите разложение в сумму простейших дробей (не находя коэффициентов разложения) дробно-рациональных функций

, .

Из первого раздела известно, что всякую неправильную несократимую дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Интеграл от многочлена находится непосредственным интегрированием.

Правильная рациональная дробь раскладывается в сумму простейших дробей І, ІІ, ІІІ и IV типов. Рассмотрим, как находятся интегралы от этих дробей.

І тип.

.

ІІ тип.

()

.

ІІІ тип.

.

Нахождение такого интеграла рассмотрено выше.

Аналогичным образом находится и интеграл от простейшей дроби IV типа:

(, знаменатель имеет комплексные корни).

Пример 2.5. Найти интегралы , , которые являются интегралами соответственно от простейшей дроби III и IV типа.