- Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция определена и непрерывна при всех значениях таких, что . Рассмотрим , который имеет смысл при любом значении и меняется при изменении , т.е. является функцией от .
Если существует конечный предел
,
то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают символом .
Таким образом, по определению
. (3.5)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же в (3.5) предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что расходится.
Несобственный интеграл при на промежутке имеет следующий геометрический смысл: если определяет площадь области, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми и , то считают, что определяет площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями , и осью абсцисс (рис.3.9).
Рис.3.9.
Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков.
По определению
.
Определение сходимости, расходимости для этих интегралов такое же, как и для интеграла (3.5).
Пример 3.4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
а) ; б) .