Модель экспоненциального роста популяций

Если необходимые для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции

(1.1)

r – удельная скорость роста численности, которую можно представить как разность

Удельной рождаемости (birth rate) b и удельной смертности (death rate) d.

Предположение, приводящее к этому уравнению, состоит в том, что скорость роста на единицу популяции (удельная скорость роста) постоянна, т.е.

- прирост популяции в (n+1)- й период времени. Это дискретный вариант непрерывной модели.

Решаем уравнение (1.1):

,

С – постоянная интегрирования, которую находим из начальных условий:

При , где – начальная численность популяции.

Решение уравнения принимает вид:

(1.2)

Решение представляет собой формулу экспоненциального роста

Из уравнения следует, что с ростом t численность популяции растет неограниченно, как экспонента. Разумеется, ни в одной реально существующей популяции такой рост не наблюдается. Те предположения, на основе которых мы вывели уравнение (изолированность популяции, неограниченность ресурсов питания), в реальных природных условиях не выполняются. Таким образом уравнение (1) имеет смысл либо в теоретическом аспекте (она показывает как развивалась бы популяция, если бы ей не мешали и неограниченно подкармливали), либо описывает динамику искусственно созданной и поддерживаемой популяции (например, популяции грибков, выделяющих пенициллин). Величина а при этом называется специфической (врожденной) скоростью естественного увеличения популяции.

Уравнение (1) впервые получил Мальтус. Заблуждение Мальтуса в том, что это уравнение, справедливое для узкого класса популяций, он считал универсальным законом не только для всей природы, но и для человеческого общества.