Давление условно называют высоким, если при реализации соответствующей ему потенциальной энергии в кинетическую энергию плотность и температура газа, уменьшаясь, претерпевают существенные изменения. В настоящее время расчет истечения газа под высоким давлением базируется на изоэнтропической модели процесса. Сущность этой модели заключается в следующем.
Предполагается, что газовый поток при движении внутри сопла, из которого происходит истечение, не отдает и не воспринимает тепло извне, т. е. является адиабатным. Далее предполагается, что трение потока о стенки сопла отсутствует, и скорость потока равномерно распределена по поперечному сечению сопла. Процессы, в ходе которых система не участвует в теплообмене с окружающей средой и сама не вырабатывает тепло, называют изоэнтропическими, т. е. протекающими при постоянном значении энтропии, так что изменение ее D S = 0.
На самом деле трение существует, и скорости распределяются неравномерно по поперечному сечению газового потока. Поэтому процесс истечения носит адиабатно-неизоэнтропический характер. Тем не менее, изоэнтропическая модель при коротких соплах оправдывает себя, давая ответы, не слишком резко расходящиеся с действительностью.
|
|
Характер развивающихся в сопле явлений тесно связан с величиной отношения скорости в данной точке потока и скорости звука или, как ее часто называют, критической скорости потока.
На рис. 9.2 показаны два сопла, с помощью которых организуется истечение газов под высоким давлением; первое сопло называют простым коническим, второе - фигурным. Реализация избытка энергии сжатия в кинетическую энергию при помощи сопел происходит на коротком участке пути и при наличии достаточно больших скоростей движения газа совершается за очень короткое время. В этих условиях теплообмен между газом и окружающей средой через стенку канала незначительно сказывается на температуре газа и процесс истечения получается очень близким к адиабатическому процессу.
Рис. 9.2. Схема конического (а) и фигурного (б) сопла
Если скорость движения газа меньше скорости звука то течение называют дозвуковым. Режим, при котором скорость частиц газа равна скорости звука в той же точке , называется критическим, а скорость при этом режиме - критической . Отношение скорости газа в данной точке потока к критической скорости называют критерием скорости движения газа, т.е. .
При наличии достаточно высокого начального давления газа скорость его истечения при выполнении определенных условий может быть больше скорости распространения звука, т.е. и . Этот режим движения называют сверхзвуковым.
|
|
Рассмотрим наиболее общий случай - истечение газа через фигурное сопло, схема которого показана на рис. 9.2, б. Газовый поток при переходе от начального сечения I - I к минимальному сечению II - II плавно сужается, после чего на пути от минимального сечения II - II к сечениюIII - III он подвергается плавному расширению. Таким образом, в этом сопле можно выделить две части: сужение - конфузор и расширение - диффузор. Если профиль такого сопла позволяет получить сверхзвуковые скорости истечения газа, то оно называется соплом Лаваля.
Для выявления обстоятельств, изменяющих режим движения газа в сопле, воспользуемся одномерными уравнениями движения и сплошности потока, движущегося без трения:
(9.9)
(9.10)
Логарифмируя уравнение сплошности, дифференцируя полученный результат по координате x и заменяя в уравнении Бернулли (9.9) получаем
(9.11)
Первое слагаемое, стоящее в круглых скобках, можно записать в следующем виде:
Знаменатель правой части этого выражения представляет собой квадрат скорости распространения звука в данном газе. Подставив вместо его значение по уравнения для скорости распространения звука, получаем
После подстановки этого выражения в (9.11) будем иметь:
В результате простых алгебраических преобразований этого уравнения находим
(9.12)
где
Согласно выражению для скорости распространения звука числитель формулы (9.12) равен квадрату скорости звука в газе. Вводя в расчет число Маха M * = u / c, получаем:
(9.13)
Анализ этой формулы позволяет заключить, что значения чисел Маха зависят от отношения производных и его знака. При дозвуковых скоростях производные и должны иметь одинаковые знаки, так как по уравнению (9.13) только при этом условии соблюдается неравенство Для осуществления сверхзвукового течения необходимо, чтобы производные F '(x) и p '(x) имели разные знаки, т.е. положительному приращению функции F (x) должно отвечать отрицательное приращение функции p (x). При отрицательном знаке отношения знаменатель уравнения (9.13) получается меньше единицы, что отвечает неравенству M * > 1. Случай, когда знаменатель приобретает отрицательное значение, не имеет физического смысла. При критическом режиме течения газа, когда скорость звука в газе равна скорости массового переноса газа, производная должна быть равна нулю, а производная должна быть отличной от нуля. Рассмотрим течение в плавно сужающемся и плавно расширяющемся каналах.
При сужении потока на пути от сечения I - I к сечению II - II (см. рис. 9.2,б) производная имеет отрицательный знак, так как положительному приращению координаты отвечает отрицательное приращение площади поперечного сечения сопла. В этих условиях режим течения в сужающемся сопле зависит только от знака производной . Эта производная тоже имеет отрицательный знак, потому что имеющему место положительному приращению скорости отвечает отрицательное приращение давления. Таким образом, в сужающемся канале обе производные имеют отрицательные знаки, а отношение производных положительно и , т.е. скорость движения газа во всех сечениях сужающегося канала, кроме сечения II - II, должна быть дозвуковой. В сечении II - II производная , так как имеет место минимум площади поперечного сечения потока. Производная в общем случае может быть как равной нулю, так и отличной от нуля. При отношение производных становится неопределенным, т.е. . Раскрывая эту неопределённость по правилу Лопиталя, получаем вместо уравнения (9.13)
(9.14)
Вторая производная ввиду явно выраженного минимума, имеет положительный знак. Скорость движения газа в сечении II - II будет дозвуковой, если давление p к в этом месте будет иметь минимальное значение, что отвечает положительному знаку второй производной . При положительных или отрицательных значениях в сечении II - II, а скорость движения газа в сечении будет равна скорости звука. Таким образом, в самом узком месте сопла возможны два режима движения газа - дозвуковое течение при и , и критическое течение при и .
|
|
В плавно расширяющемся канале между сечениями II - II и III - III производная имеет положительный знак. Приращение давления может быть и положительным, и отрицательным. При положительном значении скорость движения газа по выражению (9.13) должна быть дозвуковой. Этот случай отвечает работе дозвукового диффузора с минимумом давления в сечении II - II: . При отрицательном значении производной скорость движения в расширяющемся канале, найденная по уравнению (9.13), может быть больше скорости распространения звука, т.е. . Падение давления в сопле, необходимое для разгона звукового потока в сверхзвуковой, возможно лишь в том случае, когда в самом узком сечении II - II имеется определенный избыток давления по сравнению с давлением в среде, куда истекает газ. В этом случае производная в сечении II - II не равна нулю, она должна иметь отрицательный знак. Но поскольку в сечении II - II , то , т.е. в сечении II - II скорость движения газа равна скорости распространения звука. Этот режим движения, как уже отмечалось, называется критическим. Критическому режиму отвечают критические значения давления , температуры и плотности . Для обеспечения сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля критическое давление в II - II должно быть больше давления в среде, куда истекает газ, т.е. где p - давление в выходном сечении сопла Лаваля, для простоты принятое равным давлению в окружающей среде. Позднее будет показано, что равенство является частным случаем работы сопла Лаваля.
Все сказанное позволяет сделать следующие обобщения. Скорость движения газа в сужающемся сопле между сечениями I - I и II - II при любых значениях начального давления остается дозвуковой. В сечении II - II скорость движения газа в зависимости от величины р 0 может быть дозвуковой и равной скорости звука. При достижении критического режима () и дальнейшем повышении р 0 скорость движения в II - II не изменяется и остается равной своему критическому значению, но давление р кр в этом месте при возрастании р 0 увеличивается, т. е. часть начального давления, которая не смогла реализоваться в кинетическую энергию потока, расходуется на увеличение потенциальной энергии газа (энергии сжатого газа) в сечении II - II и таким путем создаются предпосылки для получения сверхзвуковых скоростей в расширяющемся сопле между сечениями II - II и III - III. При дозвуковых скоростях р к в сечении II - II за счет действия диффузора получается меньше р окр в среде, куда истекает газ. При в зависимости от значения давления р к и скорости u в сечении II - II расширяющееся сопло может работать как в дозвуковом, так и сверхзвуковом режимах. Для обеспечения сверхзвукового режима необходимо, чтобы р кр было значительно больше р окр.
|
|
Мы рассмотрели наиболее общий пример истечения газа, когда сопло состоит из сужающейся и расширяющейся частей. В частном случае истечение сжимаемого газа может быть организовано из простого сужающегося сопла без расширяющей поток приставки (рис. 9.2, а). Здесь скорость истечения и другие параметры газа изменяются по тем же закономерностям, которые присущи сечению II-II фигурного сопла (рис. 9.2,б). Разница заключается в том, что при дозвуковых скоростях давление газа на срезе сопла, ввиду отсутствия диффузора и, следовательно, отсутствия причин к его изменению, остается постоянным и равным давлению в окружающей среде. При наступлении критического режима давление на срезе сужающегося сопла становится критическим. Критическое давление может превышать давление в среде, куда истекает газ , т. е. истечение газа может происходить с избытком давления в истекающей струе.
Расчет параметров истекающего газа.
Центральным элементом расчета является определение скорости истечения газа, так как все другие параметры газа могут быть выражены через эту скорость.
Для получения наиболее общих закономерностей, одинаково справедливых для истечения газа из простых сужающихся сопел и профилированных сопел Лаваля, не будем ограничиваться конкретным примером истечения.
Скорость истечения газа. Расчет скорости истечения газа может быть произведен по уравнению энергии для адиабатического процесса.
(9.15)
где p 1, r1, u 1 - соответственно давление, плотность и скорость движения газа в сосуде или канале, из которого происходит истечение; p, r, u - те же самые параметры на срезе сопла.
Если принять u = 0, то
(9.16)
где p 0 и r0 - соответственно полное давление и плотность. Подставляя это уравнение в (9.15), найдем:
где T 0 - абсолютная температура газа.
Поскольку по уравнению изоэнтропы , то последнее выражение приобретает вид:
(9.17)
По этой формуле можно рассчитать скорость истечения, если известны начальные параметры газа р 0 и Т 0.
Критические параметры газа. Критическая скорость истечения
Для расчета этой скорости необходимо знать температуру газа при критическом режиме Т кр, которую можно определить путем совместного решения уравнения (9.17) и уравнения изоэнтропы:
При критическом режиме u = c = u кр и р = р кр. Подставив в уравнение (9.17) вместо его значение по уравнению изоэнтропы и разделив полученный результат на критическую скорость, найдем
При таком значении критической температуры
(9.18)
Величина критического давления определится, если в уравнение изоэнтропы подставить значение Т / Т кр, тогда
(9.19)
Поскольку то плотность газа при критическом режиме
(9.20)
Анализ вышеприведенных формул позволяет заключить, что безразмерные параметры газа при критическом режиме зависят только от свойств газа, определяемых величиной показателя адиабаты k = cp / cv.
В табл. 9 приведены значения отношений при различных значениях k.
Таблица 9. Безразмерные параметры газа при критическом режиме
Параметры | k = cp / cv | ||||||||||
1.05 | 1,10 | 1,15 | 1,20 | 1,25 | 1,30 | 1,35 | 1,40 | 1,45 | 1,50 | ||
Т кр/ Т 0 | 0,975 0,610 0,595 | 0,951 0.614 0,585 | 0,93 0,617 0,574 | 0,91 0,621 0,564 | 0.889 0,624 0,555 | 0,87 0,628 0,546 | 0,85 0,631 0,537 | 0,833 0,634 0,528 | 0?815 0,637 0,52 | 0,80 0,64 0,512 | |
6,4 | 4,58 | 3,79 | 3.32 | 3.00 | 2,77 | 2,59 | 2,45 | 2,33 | 2,24 | ||
Как видно из табл. 9.2, для практической области значений показателя адиабаты k = 1,25 1,45 отношение p кр/ p 0 находится в пределах 0,555 ¸ 0,52, а p 0/ p окр = 1,8 ¸ 1,9. В первом приближении можно полагать, что для обеспечения критической скорости истечения необходим двукратный запас начального давления по сравнению с давлением в пространстве, куда истекает газ.
Критические параметры газа могут быть также определены из уравнения для массового расхода среды в сечении сопла с площадью F и давлением p (рис. 9.2,б).
(9.21)
Это уравнение было получено в 1839 г. и носит название формулы Сен-Венана и Вентцеля.
Газодинамические функции. Критическая скорость движения газа при заданном Т 0 является постоянной величиной по ходу потока. Поэтому критическую скорость более удобно применять как эталон сравнения скоростей, чем переменную по ходу потока скорость звука. При введении в расчет критерия скорости l = u / u кр все параметры газового потока можно выразить через этот критерий. Получающиеся при этом функции называются газодинамическими. Значения этих функций вычислены в зависимости от величины l и показателя адиабаты k и сведены в таблицы.
Расчет параметров истечения при помощи таблиц газодинамических функций в настоящее время широко распространен и является общепринятым. Помимо сокращения вычислительной работы, преимуществом такого расчета является: значительное упрощение преобразований при совместном решении основных уравнений, что позволяет получать в общем виде решения весьма сложных задач. При этом более четко выявляются качественные закономерности течения и связи между параметрами газового потока. Использование газодинамических функций дает возможность вести расчет течений сжимаемого газа практически так же просто, как и в случае течения несжимаемой газовой среды.
Разделив выражение (9.17) для скорости истечения газа на u кр из уравнения (9.18), найдем:
(9.22)
Из этого выражения видно, что критерий скорости данного газа зависит только от р / р 0. Необходимо помнить, что при дозвуковых скоростях (l < 1) p равно давлению в среде, куда истекает газ, т.е. р = р окр. При критическом режиме (l = 1) давление определяется по уравнению (9.19). При сверхзвуковых скоростях (l > 1) р может быть меньше, больше или равно давлению в окружающей среде. В тех случаях, когда p 0 неограниченно велико по сравнению с p, критерий скорости согласно выражению (9.22) имеет максимальное значение:
Максимальные значения критерия l приведены в табл. 9.2. Например, для воздуха (k = 1,4), lmax = 2,45. При температуре воздуха T 0 = 273 K u кр = 304 м/с. Максимальная скорость истечения воздуха при этой температуре равна u max = 745 м/с. При повышении температуры T 0 критическая и максимальная скорости движения увеличиваются. Например, при T 0 = 1473 K, u кр = 692 м/с, u max = 1700 м/с. Таким образом, при одном и том же начальном давлении газа путем его подогрева можно значительно увеличить скорость истечения.
Решая уравнение (9.22) относительно р / р 0 и обозначая это отношение через p(l) получаем:
(9.23)
По этому выражению, если известен l, можно рассчитать требующийся запас давления p 0. При изменении l в пределах 0 £ l £ lmax функция p(l) меняется в диапазоне. В критическом сечении l = 1, p(l) обращается в полученную ранее формулу (9.19). При уменьшении k = cp / cv функция p(l) увеличивается. Уравнение адиабаты при k = 1 превращается в уравнение изотермы. По уравнению (9.23), при условии k ® 1, можно определить скорость истечения газа при изотермическом процессе:
Решая это выражение относительно l, после простых преобразований найдем, что при T = T 0 = const.
Заменяя отношение p / p 0 его значением по уравнению адиабаты , получаем газодинамическую функцию для расчета плотности истекающего газа по заданному l
(9.24)
При изменении l от 0 до lmax функция e(l) изменяется в пределах 1 ³ e(l) ³ 0. При l = 1 функция e(l) = eкр, уравнение (9.24) обращается в (9.20). Исследование выражения (9.23) показывает, что график этой функции имеет точку перегиба с координатами, зависящими от k:
(9.25)
Температура истекающего газа зависит от его скорости. Поэтому и этот параметр газового состояния можно представить в виде газодинамической функции. Заменяя p / p 0 на T / T 0, по уравнению изоэнтропы, найдем:
При изменении l от 0 до lmax функция q(l) убывает от 1 до 0. В критическом сечении при l = 1 эта зависимость обращается в уравнение, характеризующее отношение температур при критическом режиме. С уменьшением k и значения функции q(l) возрастают.
Функции p(l), e(l), q(l) называются основными газодинамическими функциями, так как они характеризуют изменение трех основных параметров газового состояния. Из числа других газодинамических функций наибольшее прикладное значение имеют функция q (l), характеризующая поток массы, функция скоростного напора j (l) и функция Z (l), характеризующая количество движения потока.
Функция q (l) используется при расчетах сопла Лаваля. Ее значение равно отношению F кр/ F. Из уравнения материального баланса следует, что
q (l) =
Заменяя rкр и r их значениями по уравнениям (9.20) и (9.24), получаем:
(9.26)
Исследование этого выражения показывает, что при l = 0 и l = lmax q (l) = 0. Максимальное значение функция имеет при l = 1. При практических расчетах выражение (9.26) более удобно использовать в виде:
(9.27)
На рис. 9.3 показан график зависимости критерия скорости газа от q (l) = = F кр/ F. Из результатов видно, что одному и тому же значению F кр/ F отвечает два значения l, одно из которых свойственно дозвуковому потоку, а другое - сверхзвуковому.
Рис. 9.3. Зависимость критерия скорости l от значения функции q (l) = F кр/ F для k: 1 – 1,35; 2 – 1,3; 3 – 1,4
Найдем газодинамическую функцию скоростного напора и функцию импульса потока. Удвоенное значение динамического давления где u кр = 2 k (p 0/r0)/(k + 1).
После преобразований получаем:
или
(9.28)
Отсюда можно определить, какая доля от давления р 0 в процессе истечения преобразовалась в динамическое давление газа; и поэтому эта величина является функцией скоростного напора. При l = 0 и l = lmax функция j (l) = 0. Максимальное значение эта функция получает при l = = т.е.
Значения j (l) для некоторых газов приведены ниже.
k l F / F кр j max k l F / F кр j max
1,1 1,38 1,15 0,386 1,4 1,31 1,12 0,431
1,2 1,35 1,14 0,405 1,5 1,29 1,12 0,438
1,3 1,33 1,13 0,417 1,6 1,27 1,11 0,457
Отсюда видно, что при изменении k от 1,1 до 1,6 функция j max изменяется от 0,386 до 0,457.
В ряде случаев, и, в особенности, при проектировании горелок высокого давления, с целью повышения кинетической энергии факела устанавливаются сопла Лаваля. В этом смысле данные о максимальном значении скоростного напора имеют определенное практическое значение.
Полный импульс газового потока складывается из секундного количества движения Ми и силы давления рF в рассматриваемом поперечном сечении, т.е j = Mu + pF.
Отношение полного импульса потока в данном сечении F к полному импульсу в критическом сечении называют функцией импульса потока С помощью газодинамических функций p(l), e(l) и q (l) это выражение преобразуется к следующему виду:
(9.29)
В заключение установим взаимную связь между числом Маха М * и критерием скорости истечения газа l. Скорость истечения, будучи выражена через эти критерии, записывается как u 2 = kRT ; u 2 = kRT крl2. Приравняв эти два выражения, получим: (T кр/ T 0)l2 = (T / T 0) . Заменив здесь Т кр/ Т 0 и Т / Т 0, найдем
(9.30)
(9.31)
При неограниченно большом значении числа Маха из формулы (9.31) получаем уже известное нам значение = (k + 1)/(k – 1).
Сопло Лаваля. В практике с целью упрощения изготовления сопла Лаваля делают конусообразными; образующая сопла является прямой линией. Чтобы избежать отрыва потока от стенок, центральный угол раскрытия сопла выбирают в пределах ~ 6 ¸ 8o.
Критерий скорости l для каждого данного сопла с конкретными размерами F и F кр зависит от F / F кр и р / р 0.
Таким образом, значение критерия скорости l определяется не самими абсолютными значениями давления р и площади сечения сопла F, а их относительными значениями р / р 0 и F кр/ F. Поэтому, если при каком-то значении р 0 в сопле Лаваля существовало сверхзвуковое течение, то при увеличении р 0 скорость движения газа не изменяется, так как согласно, уравнению для q (l) коэффициент скорости l зависит только от отношения F кр/ F. Из выражения (9.23) следует, что в этом случае произойдет повышение давления р на срезе сопла и газ может истекать с некоторым избытком давления.
Поэтому при сверхзвуковом истечении давление на срезе сопла в общем случае не равно давлению окружающей среды p p окр и лишь в частном случае расчетного режима, сущность которого была рассмотрена ранее, эти давления одинаковы (p = p окр).
Рис. 9.4. Схема сверхзвукового истечения с избытком давления
При p > pокр наблюдается следующая картина движения (рис. 9.3). На значительном удалении от сопла давления в струе и в атмосфере должны уравняться. В связи с этим давление в струе по мере удаления от сопла постепенно уменьшается, скорость газа возрастает, а поперечное сечение сверхзвуковой струи в соответствии с выражением (9.13) увеличивается. Опыт показывает, что при этом происходит перерасширение струи, т.е. в некотором наиболее широком сечении струи (F 1) устанавливается давление ниже давления окружающей среды (p < p окр). После этого струя начинает сужаться, а скорость уменьшается.
Торможение сверхзвукового газового потока приводит к увеличению давления, которое, как показывает опыт, распространяется во все стороны в виде волн давления с большой скоростью. Поскольку увеличение давления (сжатие газового потока) происходит достаточно быстро, что возникают так называемые сильные волны давления, скорость распространения которых значительно превышает скорость звука. Основной особенностью сильной волны давления является то, что фронт волны очень узок (соизмерим с длиной свободного пробега молекул), в связи с чем состояние газа (давление, плотность, температура) изменяются скачком.
Таким образом, можно заключить, что волны сжатия (давления) распространяются как скачки давления (разрывы); по этой причине их называют ударными волнами. В том случае, если фронт ударной волны перпендикулярен направлению движения газового потока, и поток, проходя через него, не изменяет своего направления, имеет место так называемый прямой скачок уплотнения. Если фронт скачка располагается наклонно к направлению потока, и поток, проходя через него, изменяет направление своего движения, то имеет место косой скачок уплотнения.
В результате прохождения скачка сверхзвуковая скорость газа переходит в дозвуковую. Таким образом, в некотором сечении F 2 скорость становится дозвуковой, а давление выше давления окружающей среды. Затем происходит вновь процесс уменьшения давления и возрастания скорости, сопровождающийся сужением струи. При достаточно большом избытке давления скорость вновь достигает критического, а затем и сверхзвукового значения, т. е. появляется второй сверхзвуковой участок, на котором струя расширяется. В результате второго перерасширения и последующего увеличения давления возникает второй скачок уплотнения, который вследствие потерь энергии в первом скачке, естественно, получается слабее.
Таким образом, постепенно струя рассеивает свою энергию, превращаясь в результате в обычную дозвуковую струю. При небольшом избытке давления на срезе сопла также получаются колебания скорости и давления вдоль оси струи, но без скачков уплотнения.
Рис. 9.5. Схема истечения из плоскопараллельного сопла Лаваля при р < р окр
Сверхзвуковое истечение из сопла Лаваля при p < p окр осуществляется посредством сложной системы скачков (рис. 9.5). От краев сопла отходят косые скачки уплотнения, которые встречаются на оси струи в точке 0. Пересекая фронт косого скачка (а - 0), элементарные струйки газа переходят в область давления окружающей среды. Отклонение струек в результате скачка от первоначального направления должно было бы привести к их столкновению на оси струи.
В действительности происходит второй поворот струек; они возвращаются к первоначальному направлению, однако это приводит к возникновению второй группы скачков (0 b). Правее линий 0 b давление становится выше давления окружающей среды, поэтому за второй группой скачков устанавливается такой же режим, как и при истечении с избытком давления (p > p окр). Чем меньше давление на срезе сопла, тем больше должен быть угол поворота потока при прохождении скачков и меньше скорость потока, в частности, за первой группой скачков, поэтому, в конце концов, наступает такой режим, при котором нужный угол поворота потока не может быть осуществлен.
В центральной части струи при этом образуется ударная волна, фронт которой с увеличением разности p - p окр увеличивается. При большом противодавлении сверхзвуковое истечение становится невозможным, и скачки давления перемещаются внутрь сопла Лаваля. Поскольку при прохождении скачка скорость потока всегда становится дозвуковой, то выходная часть за фронтом скачка работает как обыкновенный дозвуковой диффузор. С уменьшением давления перед соплом скачок продвигается к критическому сечению, становится более слабым. В критическом сечении он исчезает, а сопло Лаваля при этом превращается в трубу Вентури. Положение плоскости скачка в сопле определяется отношением давления перед соплом к давлению среды, в которую происходит истечение.
Режимы, при которых скачки уплотнения имеют место внутри сопла Лаваля, встречаются редко. Обычно газ успевает расшириться до выходного сечения сопла и скорость его на срезе превышает скорость звука.
Вышеприведенные формулы справедливы для идеально гладких сопел Лаваля, где энергия движения вследствие отсутствия трения не может перейти в теплоту. В реальных соплах Лаваля в результате трения некоторая часть энергии движения переходит в теплоту, поэтому скорость истечения газа из сопла получается несколько меньше, чем это следует из формул изоэнтропического истечения. Для компенсации потерь энергии сопла Лаваля рекомендуется проектировать для работы с некоторым избытком давления р. С целью уменьшения потерь энергии на преодоления сил трения сопла Лаваля при изготовлении шлифуют.
При дозвуковом режиме сопло Лаваля работает как обычный диффузор. Давление р на выходе из диффузора не зависит от скорости истечения газа, оно остается постоянным и равным давлению в среде, куда истекает газ, т.е. p = p окр. Здесь колебание давления p 0 сопровождается уменьшением или увеличением скорости истечения газа, что наглядно видно из уравнения (9.27), если в нём положить p = p окр.
Область применения формул для несжимаемого газа и примеры расчетов истечения.
Ранее отмечалось, что если газ истекает под действием малой разности давлений, то расчет истечения может быть произведен по уравнению Бернулли для несжимаемого газа, т.е.
где р 0 - полное давление газа в сосуде, из которого происходит истечение, Па.
Правомерность такой формы записи уравнения Бернулли, предполагающей равенство между избытком давления (p - p окр) и динамическим давлением r u 2/2, может быть оценена с помощью формул изоэнтропического истечения. Обозначим отношение избытка давления (p - p окр) к динамическому давлению через число Эйлера Eu. Воспользовавшись газодинамической функцией скоростного напора по формуле (9.28), значение Еu можно представить в виде:
(9.32)
где j (l) - газодинамическая функция скоростного напора [см. (9.28)].
Согласно уравнению Бернулли для несжимаемого газа, число Эйлера Еu = 1. Отклонение числа Еu от единицы характеризует степень неправомерности записи уравнения Бернулли в форме выражения (9.32) для изоэнтропического процесса. Значения числа Еu в зависимости от отношения p 0 / p окр приведены в табл. 9.3.
Данные этой таблицы рассчитаны с помощью таблиц газодинамических функций. При малых значениях отношения p 0 / p окр (р 0/ р кр 1,1) число Еu практически не зависит от показателя адиабаты k, поэтому данные табл. 9.3 можно считать характерными для большинства газов, у которых k = 1,1-1,4.
Из результатов табл. 9.3 также видно, что при изменении отношения давлений p 0 / p окр от 1,01 до 1,10 число Еu изменяется от 1 до 1,04, т.е., строго говоря, равенства между избытком давления (p 0 - p окр) и динамическим давление r u 2/2 не существует. Но этот разбаланс между левой и правой частями уравнения (9.32) относительно невелик и в ряде случаев им вполне можно пренебречь.
Таблица 9.3. Значения критерия Еu при разных p окр / p 0
p окр / p 0 | p 0 / p окр | Еu | p окр / p 0 | p 0 / p окр | Eu | |||||
0,99 | 1,01 | 1,00 | 0,94 | 1,06 | 1,025 | |||||
0,98 | 1,02 | 1,01 | 0,93 | 1,075 | 1,030 | |||||
0,97 | 1,03 | 1,013 | 0,92 | 1.09 | 1,033 | |||||
0,96 | 1,04 | 1,015 | 0,81 | 1,10 | 1,04 | |||||
0,95 | 1,05 | 1,02 | 0,90 | 1,11 | 1,05 | |||||
Более корректная запись учитывает неравномерность распределения скоростей в истекающем потоке, т. е.
(9.33)
aэ - коэффициент, показывающий во сколько раз фактическая энергия движения потока больше энергии движения, рассчитанной по средней расходной скорости u = V. Более подробно коэффициент aэ рассматривался ранее. Для цилиндрического турбулентного потока при изменении числа Re от 1×104 до 3×106 коэффициент aэ изменяет от 1,08 до 1,01. Для конфузоров, из которых обычно организуется дозвуковое истечение, aэ = 1,04 - 1,01. В среднем, при приближенных расчетах истечения из конфузоров, можно полагать для цилиндрических сопел aэ = 1,05.
Если теперь приведенные в табл. 9.3 значения критерия Еu уменьшить в aэ раз, то оказывается, что при p 0/ р окр 1,1, с точностью до 1 % расчет истечения можно производить по уравнению Бернулли для несжимаемого газа. Отношению p 0 / p окр 1,10 отвечает скорость истечения u 0,4 u кр.
Таким образом, область применения формулы для несжимаемого газа примерно определяется следующими отношениями p0 /pокр 1,1; uкр 0,4.
С точки зрения конкретных расчетов режим истечения газов можно подразделить на 4 группы:
1) истечение с малыми дозвуковыми скоростями при p 0 1,1 p окр и u 0,4 u кр. Это область, в которой газ для упрощения расчетов приближенно можно считать несжимаемым;
2) истечение с дозвуковыми скоростями при p 0 p окр /pкр и 0,4 u кр u £ u кр – это область докритических скоростей, в которой газ нельзя рассматривать в качестве несжимаемого, хотя давление на срезе конфузора равно давлению в окружающей среде;
3) истечение газа с критическими скоростями при p 0 p окр /pкр и u = u кр. В этой области давление в выходном сечении конфузора больше давления в окружающей среде, т.е. p ³ p окр.
4) истечение со сверхзвуковыми скоростями через сопло Лаваля. Здесь p 0 > p окр /pкр и u > u кр..
Ниже приводятся примеры расчетов истечения газа.
Пример 9.1. Природный газ истекает из сопла диаметром d 0 = 50 мм. Полное давление газа p 0 = 150×103 Па. Давление в окружающей среде p окр = 99,2×103 Па. Температура Т 0, показатель адиабаты k и газовая постоянная R равны: Т 0 = 293 К, k = 1,3; R = 475 Н×м/(кг×K). Истечение происходит через плавный конфузор. Определить скорость истечения газа и его расход.
Вычислим отношение давлений p 0/ p окр и минимальное давление, при котором возможно наступление критического режима.
p 0 / p окр = 99,2/150 = 0,662; p 0 / p окр = 1,51.
Поскольку p 0 >1,1 p окр, то расчет необходимо производить с учетом сжимаемости газа. Критическое отношение давлений pкр в соответствии с данными табл. 9.2, при k = 1,3 равно pкр = 0,546. Минимальное давление p 0min, при котором возможно наступление критического режима, составляет p 0min= p окр /0,546=1,83 p окр
Поскольку заданное p 0 = 1,51 p окр < p 0min =1,83 p окр, то скорость истечения газа докритическая и, следовательно, давление, на срезе сопла p = p окр. Критическая скорость истечения газа определяется согласно выражению (9.28) как
Критерий скорости истечения газа вычисляется из уравнения (9.23)
Согласно определению скорость истечения газа , т. е. u = 0,83×396 = = 330 м/с. Температуру истекающего газа вычислим в соответствии с выражением для Т / Т 0:
Т / Т 0 = 1- 0,3/2,3×0,69 = 1- 0,09 = 0,91;
Т = 0,91×293 = 267 K (t = - 6oC).
Плотность истекающего газа при р = р окр= 99,2× 103 Па и Т = 267 К
В результате получаем расход массы газа через сопло:
М = 0,782×330×0,785×0,052 = 0,508 кг/с
и объемный расход газа при нормальных условиях, когда
p = 102×103 Па и Т = 273 К:
Пример 9.2. Через сопло Лаваля истекает природный газ, имеющий следующие параметры: p 0 = 800 000 Па; T 0 = 293 K; R = 475 Н×м/(кг×К); k = 1,3; M = 4000 кг/ч = = 1,11 кг/с. Давление в окружающей среде р окр= 99200 Па.
Требуется определить проходные сечения конического сопла Лаваля, его длину и параметры истекающего газа Т и r, положив давление на срезе сопла p = 1,1 p окр. Избыток давления в количестве 0,1 p окp предназначается для покрытия возможных потерь давления в сопле Лаваля.
Параметры газа и сопла в критическом сечении определим по формуле (9.28 - 9.30) при k = 1,3:
Параметры газа в конце сопла Лаваля найдем по формулам при р = 1,1×99000 = = 109×103 Па:
l =1,68; u = l u кр= 1б,8×396 = 665 м/c;
T = 293(1-0,3/2,3×2,83) = 185 K;
Площадь выходного сечения сопла Лаваля рассчитывается по выражению (9.27)
Длина сопла Лаваля при центральном угле раскрытия a = 8о:
Истечение водяного пара. Водяной пар, как правило, истекает под высоким давлением. Расчет истечения осложняется переменностью показателя адиабаты k, который зависит от состояния пара. Различают три состояния водяного пара: перегретый, сухой насыщенный и влажный насыщенный.
Состояние, при котором вода и пар находятся в равновесии, называется насыщением. Пар, отвечающий этому состоянию, является насыщенным и имеет с водой одинаковую температуру. Подвод теплоты к системе вода - пар, находящейся в состоянии насыщения, не изменяет температуру этой системы, так как подведенная теплота, прежде всего, расходуется на испарение воды.
Поэтому состояние насыщения характеризуется при каждом давлении вполне определенной и постоянной температурой. Насыщенный пар может быть сухим и влажным. Сухой насыщенный пар, в противоположность влажному пару, не содержит капелек воды и поэтому при подводе теплоты он нагревается. Сухому насыщенному пару отвечают определенные и взаимосвязанные температуры и давления. Если давление сухого насыщенного пара не изменяется, а его температура вследствие подвода теплоты увеличивается, то пар из сухого насыщенного становится перегретым.
Показатель адиабаты перегретого пара при умеренных давлениях k = 1,3. При изоэнтропическом расширении температура и давление пара снижается, и пар из состояния перегретого может превратиться в сухой и даже влажный насыщенный пар. Поэтому при истечении, которое сопровождается понижением температуры, свойства пара приближаются к свойствам идеального газа, для которого показатель адиабаты k = 1. Таким образом, в ходе истечения пара показатель адиабаты оказывается переменной величиной. Это обстоятельство вызывает затруднения в определении критических параметров истекающего пара. Показатель адиабаты влажного насыщенного пара ориентировочно определяется по формуле Цейнера:
k = 1,035 + 0,1 x, (9.34)
где x - степень сухости насыщенного пара, определяемая по диаграмме i - s. Для сухого насыщенного пара x = 1 и k = 1,135.
Если в основу расчета положить формулу Цейнера для показателя адиабаты пара, переходящего из перегретого состояния во влажный пар, то это будет заниженное значение, которое приведет к завышенным значениям скорости истечения.
Ввиду описанных трудностей, расчет истечения пара приходится производить методом последовательных приближений. Скорость истечения пара при пользовании диаграммы i - s рекомендуется определять по уравнению энергии, записываемому в форме энтальпий, из которого следует, что
где i 0 и i к - соответственно энтальпии пара в начальном и конечном состояниях при изоэнтропическом процессе, кДж/кг; a = 44,7.
Удельный объем влажного насыщенного пара вычисляется по формуле:
(9.35)
где два штриха относятся к сухому насыщенному пару, а один — к воде.
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ГАЗОВЫЕ СТРУИ
Процесс распространения газа, истекающего из сопла или отверстия, в пространство, заполненное газом (окружающую среду), называется струйным процессом, а сам истекающий газ и часть вовлеченной им в движение окружающей среды — струёй.
В литературе принято классифицировать струи по скорости движения окружающей среды, а также по соотношению физических свойств истекающего газа и газа, заполняющего пространство, в котором струя развивается. Если окружающая среда неподвижна и ее физические свойства совпадают с физическими свойствами струи, то такая струя называется затопленной (или изотермической, если дополнительно равны их температуры). Если физические свойства струи и среды неодинаковы, то такая струя называется незатопленной. В случае, когда струя распространяется в неограниченном пространстве, она называется свободной.
В общем случае окружающая среда может перемещаться как в направлении движения струи, так и навстречу ей, поэтому в металлургической теплотехнике различают струи, развивающиеся в спутном и встречном потоках.
Помимо отмеченного, турбулентные газовые струи классифицируют по их взаимному расположению и по условиям развития. Здесь выделяют параллельные и соударяющиеся струи; струи, развивающиеся в ограниченном пространстве (ограниченные и полуограниченные), и т.д.
Знание закономерностей развития струйных процессов в металлургии имеет большое прикладное значение для организации факельного процесса сжигания топлива, при смешении одного газа с другими в смесительных установках и инжекторах, при продувке расплавов газовыми средами, при разливке кристаллизующихся металлов и сплавов, при струйном нагреве и охлаждении металла и во многих других случаях.