Упражнение 2. Заряд сферического конденсатора в начальный момент времени равен q0

Заряд сферического конденсатора в начальный момент времени равен q ₀. Как будет меняться со временем заряд q (t) конденсатора, если между его обкладками находится слабо проводящее вещество с удельной проводимостью l и диэлектрической проницаемостью e.

Ответ: Изменение заряда со временем q (t) обусловлено его утечкой через проводящую диэлектрическую среду между его обкладками. Ток утечки определяет быстроту изменения заряда и, в свою очередь, определяется разностью потенциалов на обкладках конденсатора . Разность потенциалов определяется зарядом на обкладках по соотношению . Откуда следует:

.

Разделяя переменные, получим дифференциальное соотношение:

,

интегрирование, которого по времени в пределах от до и по заряду в пределах от до приводит к выражению:

Заметим, что наше рассмотрение носило общий характер и справедливо для описания процесса разрядки любого конденсатора. Для сферического конденсатора , а , где и - радиусы внешней и внутренней обкладок конденсатора. Окончательно получим:

Отметим еще раз, что окончательный ответ не зависит от геометрических параметров конденсатора и описывает процесс разрядки произвольного конденсатора с однородными свойствами среды между обкладками.