2015-05-26
321
Метод исчерпывания, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в XVII в.
Типичная схема доказательства при помощи этого метода может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C 1, C 2,..., Cn,... так, что
Cn < A; (1)
предполагают также известным такое В, что
Cn < В (2)
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства
К (A — Cn) < D, К (В — Cn) < D, (3)
где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству
А = В (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда устанавливали, что для R = B — А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали
К (В — Cn) > К (В — A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение метода вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C 1, C 2,..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,
Архимед геометрически доказывает, что при любом n
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что
