Путь к открытию

Ферма был только математиком. Декарт был прежде всего философом. Его размышления выходили далеко за пределы математики и имели дело с проблемами сущности бытия и познания. Декарт — основоположник философии рационализма, утверждающей неограниченную способность человека познавать мир, исходя из некоторого числа интуитивно ясных истин и продвигаясь, шаг за шагом вперед с помощью определенных правил или методов. Эти два слова — ключевые для всей философии Декарта. «Правила для руководства ума» — так называется его первое философское сочинение, «Рассуждение о методе» — второе. «Рассуждение о методе» было издано в 1637 г. в одном переплете с тремя физико-математическими трактатами: «Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия» и предшествовало им как изложение философских принципов, лежащих в основе следующих частей. Декарт выдвигает в этом сочинении следующие четыре принципа исследования:

1. Не признавать истинным ничего, кроме того, что с очевидностью познается мною таковым, т. е. тщательно избегать поспешности и предубеждений и принимать в свои суждения только то, что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что ни в коем случае не возбуждает во мне сомнения.
2. Разделять каждое из рассматриваемых мною затруднений на столько частей, на сколько возможно и сколько требуется для лучшего их разрешения.
3. Мыслить по порядку, начиная с предметов наиболее простых и легко познаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые не следуют естественно друг за другом.
4. Составлять повсюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Руководствуясь этими принципами, Декарт и приходит к своим математическим идеям. Вот как он сам описывает этот путь в «Рассуждении о методе»:

Мне не стоило большого труда отыскание того, с чего следует начинать, так как я уже знал, что начинать надо с самого простого и доступного пониманию; учитывая, что среди всех, кто ранее исследовал истину в науках, только математики смогли найти некоторые доказательства, т. е. представить доводы несомненные и очевидные, я уже не сомневался, что начинать надо именно с тех, которые исследовали они... Но я не имел намерения изучать на этом основании все отдельные науки, обычно именуемые математикой. Видя, что хотя их предметы различны, но все же они сходны между собой в том, что рассматривают не что иное, как различные встречающиеся в предметах отношения, я подумал, что мне следует лучше исследовать эти отношения вообще, мысля их не только в тех предметах, которые облегчали бы мне их познание, и никоим образом не связывая с этими предметами, чтобы тем лучше применить их потом ко всем другим, к которым они подойдут. Затем, приняв во внимание, что для изучения этих отношений мне придется рассматривать каждое из них в отдельности и лишь иногда запоминать или истолковывать их по несколько вместе, я подумал, что для лучшего рассмотрения их в отдельности я должен представить их себе в виде линий, потому что я не находил ничего более простого, что я мог бы представить себе более отчетливо в своем воображении и ощущении. Но для того, чтобы лучше удержать их в памяти или сосредоточить внимание сразу на нескольких, надо выразить их какими-то возможно более краткими знаками. Благодаря такому способу, я мог заимствовать все лучшее в геометрическом анализе и в алгебре и исправить все недостатки одного при помощи другой.

Из этого чрезвычайно интересного свидетельства видно, что Декарт отчетливо осознает семантическую новизну своего языка, основанного на абстрактном понятии отношения и применимого ко всем явлениям действительности. Линии служат лишь для иллюстрации понятия отношения подобно тому, как набор палочек служит для иллюстрации понятия числа. В математических работах то, что обозначается буквами, Декарт и последующие математики называют по традиции величинами, но по смыслу это не пространственные геометрические величины греков, а их отношения. Понятие величины у Декарта так же абстрактно, как понятие числа. Но оно, конечно, никак не сводится к понятию числа в точном смысле слова, т. е. рационального числа. В «Геометрии», поясняя свои обозначения, Декарт указывает, что они подобны (а не тождественны) обозначениям арифметической алгебры.

Подобно тому, как вся арифметика состоит только из четырех–пяти действий, а именно: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня... так и в геометрии для нахождения искомых отрезков надо только прибавлять или отнимать другие отрезки; или, имея отрезок, который я для более наглядного сопоставления с числами буду называть единицей и который вообще можно выбирать произвольно и, имея, кроме него, два других отрезка, требуется найти четвертый, который так относится к одному из этих двух, как другой к единице, — это равносильно умножению; или же требуется найти четвертый отрезок, который так относится к одному из двух данных, как единица к другому, — это равносильно делению; или, наконец, требуется найти одно, два или несколько средних пропорциональных между единицей и другим отрезком — это равносильно извлечению корня — квадратного, кубического и т. д. И я нисколько не колеблюсь ввести эти арифметические термины в геометрию, чтобы сделать мое изложение более понятным.

Семантика алгебраического языка Декарта много сложнее семантики арифметического и геометрического языков, опирающихся на наглядные образцы. Использование такого языка изменяет взгляд на отношение между языком и действительностью. Обнаруживается, что буквы математического языка могут обозначать не только числа и фигуры, но и нечто гораздо более абстрактное (точнее, конструктное). Отсюда берет начало изобретение новых математических языков и диалектов, введение новых конструктов. Прецедент был создан Декартом. Фактически Декарт заложил основу описания явлений действительности с помощью формализованных символьных языков.

Непосредственное значение реформы Декарта заключалось в том, что она развязала руки математикам для создания в абстрактной символьной форме исчисления бесконечно малых, основные идеи которого в геометрической форме были известны еще древним. Если к дате выхода в свет «Геометрии» мы прибавим полвека, то очутимся в эпохе Лейбница и Ньютона, а еще через полвека — в эпохе Эйлера.

История науки показывает, что наибольшая слава достается обычно не тем, кто закладывает основы и, конечно, не тем, кто занимается мелкими заключительными доделками, а тем, кто в новом направлении мысли первым получает крупные результаты, поражающие воображение современников или ближайших потомков. Такую роль в европейской физико-математической науке сыграл Ньютон. Между тем известно высказывание Ньютона:

Если я видел дальше, чем Декарт, то потому, что я стоял на плечах Гигантов³.

Это, конечно, свидетельствует о скромности гениального ученого, но является также признанием долга перед первопроходцами со стороны «первополучателей». Яблоко, прославившее Ньютона, выросло на дереве, которое посадил Декарт.

¹ Т. е. со сторонами, равными неравным частям.

² Пробуждающаяся наука. Гл. 8.

³ If I have seen farther than Descartes, it is by standing on shoulders of giants.

Глава 12. От Декарта до Бурбаки 12.1. Формализованный язык «Следующая остановка — станция Апрелевка, — доносится хриплый голос из репродуктора. — Повторяю: станция Апрелевка. На станции Победа поезд остановки не имеет». Вы едете на электричке по Киевской железной дороге, а поскольку вы забыли захватить книгу и делать вам нечего, вы начинаете размышлять о том, как небрежно мы все еще относимся к нашему родному языку. В самом деле, что за нелепое выражение «остановки не имеет»? Не проще ли сказать «не останавливается». Ах, эти канцелярские, казенные выражения. Уж пишут об этом, пишут, а толку все нет. Однако, если вы не сходите в Апрелевке и у вас есть время на дальнейшие размышления, вы поймете, что дело здесь вовсе не в небрежном отношении к родному языку, а в том, что «остановки не имеет» означает не совсем то же самое, что «не останавливается». Понятие остановки в железнодорожном лексиконе не тождественно с понятием прекращения движения. Ему можно дать следующее определение, не слишком изящное, но достаточно точное: остановка — это преднамеренное прекращение движение поезда, сопровождаемое принятием мер, необходимых для обеспечения выхода пассажиров из вагонов и входа в вагоны. Это очень важное для железнодорожников понятие, и оно связано именно с существительным «остановка», а не с глаголом «останавливаться». Так что если, например, машинист остановил поезд, но не открыл пневматических дверей, то поезд «остановился», но не «возымел остановку». Железнодорожник, делавший объявление, конечно, не производил такого лингвистического анализа. Он просто воспользовался привычным профессиональным термином, что позволило ему выразить свою мысль совершенно точно, хотя и несколько коряво с точки зрения непрофессионала. Это — проявление весьма распространенного явления: когда язык употребляется в сравнительно узких профессиональных целях, наблюдается тенденция к ограничению числа используемых терминов и приданию им более четкого и постоянного смысла. Происходит, как говорят, формализация языка. Если этот процесс довести до логического завершения, то язык будет полностью формализованным. Понятие о формализованном языке можно определить следующим образом. Обратимся к нашей схеме использования языковых моделей действительности (см. рис. 9.5) и поставим вопрос: каким образом выполняется преобразование L 1 → L 2, от какой информации оно зависит? Можно представить себе две возможности. Преобразование L 1 → L 2 определяется исключительно языковыми объектами Li, которые в нем участвуют, и не зависят от тех языковых представлений Si, которые им соответствуют по семантике языка. Иначе говоря, языковая деятельность зависит только от «формы» языковых объектов, но не от их «содержания» (значения). Результат преобразования языкового объекта Li зависит не только (и не столько) от вида самого объекта Li, но и от представления Si, которое он порождает в голове человека, от ассоциаций, в которые он входит, а, следовательно, от личного жизненного опыта человека. В первом случае мы называем язык формализованным, во втором неформализованным. Подчеркнем, что полная формализация языка не обязательно означает его полную алгоритмизацию, т. е. такое положение, когда вся языковая деятельность сводится к выполнению четких и однозначных предписаний, в результате которых каждый языковый объект L 1 преобразуется в совершенно определенный объект L 2. Правила преобразования L 1 → L 2 могут формулироваться в виде более или менее жестких ограничений и оставлять определенную свободу действий, важно только, чтобы эти ограничения зависели лишь от вида объекта L 1 и потенциальных объектов L 2 самих по себе и не зависели от семантики языковых объектов. Данное нами определение формализованного языка относится к случаю, когда язык используется для создания моделей действительности. Когда язык служит средством передачи управляющей информации (язык приказов), имеет место совершенно аналогичное деление на два возможных типа реакции. Человек реагирует на приказ строго формально, т. е. его действия зависят только от той информации, которая содержится в тексте приказа, рассматриваемом как изолированная материальная система. Действие человека зависит от тех представлений и ассоциаций, которые вызывает у него приказ. Таким образом, он использует фактически гораздо большую информацию, чем та, которая содержится в тексте приказа. Принципиальной разницы между языком приказов и языком моделей нет. Приказ «прячься!» можно трактовать как модель «если ты не спрячешься, то рискуешь потерять жизнь». Различие между приказом и моделью — в деталях использования информации. В обоих случаях формализованность языка приводит к определенному отделению синтаксиса от семантики, к отрыву материальных языковых объектов от связанных с ними представлений, к приобретению языковыми объектами качеств независимой системы. В зависимости от того, какого типа язык используется, можно говорить о неформальном и формальном мышлении. При неформальном мышлении языковые объекты важны главным образом постольку, поскольку они вызывают у нас определенные комплексы представлений. Слова здесь — веревочки, дергая за которые мы извлекаем из памяти частицы нашего жизненного опыта, переживаем их вновь, сопоставляем, сортируем и т. п. Результатом этой внутренней работы является преобразование представлений S 1 → S 2, которое моделирует перемены в окружающей среде R 1 → R 2. Это не значит, однако, что неформальное мышление тождественно с безъязыковым. Во-первых, уже само расчленение потока ощущений зависит от системы понятий, фиксированной в языке. Во-вторых, и в процессе преобразования S 1 → S 2 «натуральный вид» языкового объекта — слово — играет немаловажную роль: мы очень часто пользуемся ассоциацией именно между словами, а не представлениями. Поэтому формулу неформального мышления можно изобразить в виде (S 1, L 1) → (S 2, L 2). При формальном мышлении мы оперируем с языковыми объектами как с некоторыми самостоятельными и самодовлеющими сущностями, забывая на время об их семантике и вспоминая о ней лишь тогда, когда надо интерпретировать полученный результат или уточнить исходные посылки. Формула формального мышления такова: S 1 → L 1 → L 2 → S 2. Для того чтобы формальное мышление приводило к правильным результатам, семантика языка должна обладать определенными свойствами, которые мы характеризуем такими терминами, как точность, определенность, однозначность. Если семантика этими свойствами не обладает, то мы не сможем ввести такие формальные преобразования L 1 → L 2, чтобы, пользуясь ими, получать всегда правильный результат. Можно, конечно, кок-то установить формальные правила преобразований и получить, таким образом, формализованный язык, но это будет язык, приводящий иногда к ложным выводам. Вот пример умозаключения, приводящего к ложному результату из-за неоднозначности в семантике: Ваня — цыган. Цыгане пришли в Европу из Индии.   Следовательно, Ваня пришел в Европу из Индии. Итак, на деле точность семантики и формализованность синтаксиса неотделимы и формализованным языком называется язык, который удовлетворяет обоим критериям. Однако ведущим критерием является критерий синтаксический, ибо само понятие точной семантики можно строго определить только через синтаксис. А именно семантика точна, если можно установить формализованный синтаксис, дающий только верные модели действительности. Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:   891011121314  Сейчас читают про: Практические рекомендации по стилистике документов, образующих деловую переписку Методы и средства гигиенического обучения и воспитания населения Анализ дебиторской задолженности Недостатки речного транспорта ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА Индексы переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть  Железо, если им не пользуются, ржавеет; стоячая вода теряет свою свежесть, а на холоде замерзает; точно так же чахнет от бездействия ум человека. © Леонардо да Винчи ==> читать все изречения... 6451 6380 Понравился сайт? Поделись им с друзьями: