Геометрическая теория управления

Одна из главных задач теории управления — задача управляемости — состоит в распознавании состояний, достижимых из данного начального. Впрочем, как правило, этого недостаточно. Выяснив, до каких состояний можно добраться, мы пытаемся найти наилучший путь. Пути можно сравнивать по времени перехода, длине допустимой траектории, затраченной энергии или значению какого-то другого функционала. Наилучшим считается путь, доставляющий минимум заранее выбранному функционалу. Поиск таких путей составляет предмет задачи оптимального управления. Две важные задачи — управляемости и оптимального управления — служат нам маяками на протяжении всей книги.

При чем здесь геометрия? Правая часть обыкновенного дифференциального уравнения есть векторное поле, а соответствующая динамическая система — поток, порожденный этим векторным полем. Таким образом, управляемая система — это семейство векторных полей. Интересующие нас свойства систем сохраняются при гладких заменах переменных в пространстве состояний. Кроме того, допускается обширный класс преобразований, перепараметризующих семейство полей; они называются преобразованиями обратной связи в теории управления и калибровочными преобразованиями в геометрии и математической физике. Наличие всех этих преобразований есть внешнее формальное основание для применения геометрических методов и бескоординатного геометрического языка в теории управления.

Имеется и более глубокое основание. Как уже отмечалось, динамическая система — это поток (т. е. однопараметрическая группа преобразований пространства состояний), порожденный векторным полем. Допустимая траектория, отвечающая постоянному управлению, есть траектория соответствующего потока. Траектория, отвечающая ку-сочно постоянному управлению, строится при помощи суперпозиции подходящих элементов потоков, соответствующих значениям функции управления. Произвольное управление можно сколь угодно хорошо приблизить кусочно постоянными. Следовательно, допустимые траектории и множества достижимости теснейшим образом связаны с группой преобразований, порожденной динамическими системами, из которых состоит изучаемая управляемая. В свою очередь группы преобразований — это сердце геометрии.