Движение материальной точки в однородном гравитационном поле Земли

Напряженность гравитационного поля Земли (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Траектория движения м.т. в однородном
гравитационном поле

В соответствии с II законом Ньютона (9.1.), если учитывать только силу тяжести,

. (12.1)

Полное ускорение материальной точки равно ускорению свободного падения (напряженности гравитационного поля Земли):

.(12.2)

В проекциях на ось X:

,(12.3)

В проекциях на ось Y:

,(12.4)

Анализ:

1. Уравнение траектории y = y (x)

.(12.5)

2. Дальность полета:

x _max = S при y (t_S) = 0,

где время полета

, (12.6)

тогда

.(12.7)

3. Высота подъема:

y _max = H при (т.е. v _y = 0),

где время подъема до максимальной высоты

, (12.8)

тогда

.(12.7)

4. Расчет радиусов кривизны траектории.

в точке А тангенциальное ускорение (рис. 12.2) , так как .

Поэтому нормальное ускорение

.(12.8)

Тогда радиус кривизны траектории в точке А:

(12.9)

Рис. 12.2. Ускорение м.т. в точке А

В точке 0 (рис.12.3) тангенциальное ускорение и равно a _t = g sina. (12.10)

Нормальное ускорение и равно

a_n = g cosa. (12.11)

Рис. 12.3. Ускорение м.т. в точке 0

Так как по определению , то – с учетом (12.11) радиус кривизны траектории в точке 0

.(12.12)

в точке S значения a_n, a _t и R те же, что и в точке 0.