Зарядка ёмкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент

Основные сведения.

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при корот­ких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соот­ветствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих эле­ментов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным урав­нением – неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим, что пере­ходный процесс в линейной цепи описывается линейными диффе­ренциальными уравнениями, а в нелинейной – нелинейными.

Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним ёмкостным элементом.

Рассмотрим процессы в цепи при зарядке и разрядке ёмкостного элемента.

Зарядка ёмкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент.

Переходный процесс в цепи на рис. 1, а списывается неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения между током зарядки и напряжением в емкостном элементе

т. е.:

Рисунок 1 – Зарядка конденсатора

Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух составляющих:

Первая составляющая соответствует установившемуся режиму

так как зарядка ёмкостного элемента закончится, когда напряжение будет равно напряжению источника ЭДС.

Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. решению однородного дифференциального уравнения первого порядка

и равна

где - корень характеристического уравнения

Таким образом, общее решение будет иметь вид

Для определения значения постоянной обратимся к закону коммутации для ёмкостного элемента. Будем считать, что до замыкания ключа, т. е. в момент времени , ёмкостный элемент не был заряжен. Поэтому

Откуда .

Подставив значение постоянной в (1), найдём напряжение на ёмкостном элементе во время зарядки (рис. 2):

где имеет размерность времени (Ом·Ф = Ом·А·с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она определяет скорость нарастания напряжения и равна времени, за которое напряжение достигло бы установившегося значения, если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорости.

Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе:

Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т. е. при , ток в цепи , ёмкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивления в цепи может на­блюдаться значительный скачок тока.

При скорость изменения напряжения на ёмкостном элементе можно приближённо считать постоянной:

а напряжение

пропорциональным интегралу напряжения источника ЭДС .

Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС , то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса, в которые , приближённо

, а

пропорционально скорости изменения напряжения источника. Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и ёмкостного элементов при определенных условиях можно рассматривать и как ин­тегрирующую, и как дифференцирующую.

В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практи­чески закончившимся через интервал времени, равный . Этот интервал времени может быть достаточно большим (чем больше и , тем больше и ), что широко используется, например, в реле времени – устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.