Методические указания к темам курса

Т е м а 1. Основные понятия

Литература: []Феодосьев В.И., Введение; []Биргер И.А., Мавлютов Р.Р., ……

В этой теме даны основные понятия, которые необходимо хорошо усвоить. Особое внимание надо обратить на понятие деформаций и напряжений. Для определения напряжений пользуются методом сечений. Сущность его заключается в том, что твердое тело, находящееся в равновесии, мысленно разрезают на две части, отбрасывают одну из частей, заменяют влияние отброшенной части внутренними силовыми факторами и составляют уравнение равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние и внутренние силы, распределенные по сделанному сечению.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие деформации называют упругими?

2. Какие деформации называют остаточными (пластическими)?

3. Что называется напряжением в точке в данном сечении?

4. Какие напряжения называются нормальными?

5. Какие напряжения называются касательными?

6. В чем заключается сущность метода сечений?

Т е м а 2. Растяжение и сжатие

Литература: []Феодосьев В.И., гл. 1; []Сб. задач, гл.1, задачи № 1, 3, 16, 19, 20, 26, 30,37, 38, 55, 59, 99, 80, 84, 88, 93, 102, 118.

В этой теме рассмотрены простые случаи воздействия сил на стержень и рассмотрен ряд вопросов, встречающихся в других разделах курса (механические свойства материалов, выбор допускаемых напряжений, статически неопределимые задачи).

Необходимо обратить внимание на то, что механические характеристики материала (пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности) путем деления соответствующей нагрузки на первоначальную площадь поперечного сечения. Таким образом, получают условные напряжения. Для вычисления истинных напряжений надо делить соответствующие нагрузки на действительную площадь поперечного сечения, которая изменяется при опыте. Зная величины истинных напряжений, можно построить так называемую истинную диаграмму растяжения, которая точнее характеризует свойства материала, чем условная диаграмма. Пользуясь формулами, основанными на законе Гука, надо всегда помнить, что этот закон справедлив только до предела пропорциональности. Нельзя, например, напряжение для мягкой стали при e = 0,1 вычислять по формуле , так как тогда получается, что = 20000 МПа, в то время как при 400 МПа материал уже разрушается.

При решении статически неопределимых задач следует обратить внимание на то, что усилия в стержнях статически неопределимой системы зависят от площадей поперечных сечений А и от модулей упругости первого рода Е, тогда как в статически определимой системе величины А и Е не влияют на распределение усилий.

Способ расчета по допускаемым нагрузкам для статически определимых систем дает такие же результаты, как и способ расчета по допускаемым напряжениям, но для статически неопределимых систем он позволяет вскрыть дополнительные резервы прочности, повысить несущую способность конструкции и указывает на возможности более экономного расходования материала.

Следует обратить внимание на весьма важные понятия: предел прочности, допускаемое напряжение и коэффициент запаса прочности, который иногда называют просто запасом прочности.

После второй темы можно решать задачу 1, включенную в контрольную работу.

Вопросы для самопроверки

1. Как строится диаграмма растяжения?

2. Что называется пределом пропорциональности?

3. Что называется пределом упругости?

4. Что называется пределом физическим пределом текучести?

5. Что называется пределом прочности?

6. Что называется истинным пределом прочности?

7. Как формулируется закон Гука?

8. Что называется модулем упругости первого рода (модулем Юнга)?

9. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона)?

10. Как найти работу растягивающей силы по диаграмме растяжения?

11. Что называется удельной работой деформации?

12. Что называется истинным пределом прочности?

13. В чем заключается разница между пластичными и хрупкими материалами?

14. От каких факторов зависит величина запаса прочности?

15. Какие задачи называются статически неопределимыми?

16. Каков общий порядок решения статически неопределимых задач?

17. Как находятся напряжения при изменении температуры?

Т е м а 3. Сдвиг

Литература: []Феодосьев В.И., гл. 1; []Сб. задач, гл.1, задачи № 1, 3, 16, 19, 20, 26, 30,37, 38, 55, 59, 99, 80, 84, 88, 93, 102, 118

Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой и направлены к ребру или от него. Этот закон носит название закона парности касательных напряжений. При изучении деформации необходимо обратить внимание на то, что одна из диагоналей элемента, на гранях которого действуют касательные напряжения, удлиняется, другая – укорачивается. Таким образом, деформации растяжения-сжатия и сдвига нельзя рассматривать изолированно друг от друга.

Формула закона Гука при сдвиге легко запомнить ввиду полной аналогии с законом Гука при растяжении–сжатии . Необходимо внимательно изучить вопрос о выборе допускаемых напряжений при сдвиге.

Следует обратить внимание на то, что расчёты заклёпок, сварных соединений и врубок являются условными и что явление «среза» всегда осложнено наличием других напряжений, которыми для упрощения расчётов обычно пренебрегают. Надо уметь показывать на чертежах площадки, на которых возникают напряжения среза, смятия, скалывания.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется абсолютным и относительным сдвигом?

2. Как формулируется закон Гука при сдвиге?

3. Какой модуль упругости больше E или G?

4. Как находится условная площадь смятия заклепки?

5. По какому сечению в заклепочном соединении?

Т е м а 4. Кручение

Литература: []Феодосьев В.И., гл. 1; []Сб. задач, гл.1, задачи № 1, 3, 16, 19, 20, 26, 30,37, 38, 55, 59, 99, 80, 84, 88, 93, 102, 118.

В случае центрального растяжения–сжатия нормальные напряжения распределяются в поперечном сечении стержня равномерно. При расчете на срез обычно считают, что касательные напряжения также распределяются равномерно. В случае кручения круглого стержня касательные напряжения в поперечном сечении распределяются неравномерно, изменяясь по линейному закону – от нуля на оси до максимального значения у поверхности. В связи с этим и возникла мысль о замене сплошного вала полым, материал сечения которого находится в более напряженной зоне и используется рациональнее.

Следует внимательно разобрать построение эпюры крутящих моментов ЭТ, которая наглядно показывает изменение величины крутящего момента по длине вала. При вычислении напряжений в произвольном поперечном сечении вала необходимо брать по эпюре ЭТ значение соответствующей ординаты.

Надо обратить внимание на то, как используется закон парности касательных напряжений для установления направлений τ в точках контура прямоугольного поперечного сечения стержня. Наибольшие напряжения в таком сечении возникают в точках контура, ближе всего расположенного к оси кручения

После изучения этой темы можно решать задачу 2

Вопросы для самопроверки:

1. Какие напряжения возникают в стержне круглого поперечного сечения при кручении?

2. Как находят их величину в произвольной точке поперечного сечения?

3. Возникают ли нормальные напряжения при кручении7

4. Чему равен полярный момент инерции круглого сечения?

5. Что называется полярным моментом сопротивления при кручении? В каких единицах от измеряется?

6. Чему равен полярный момент инерции кольцевого сечения? Почему нельзя сказать, что он равен разности полярных моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов?

7. Как вычисляют момент, передаваемый шкивом, по мощности и числу оборотов?

8. Как находят угол закручивания?

9. Как производят расчет вала на прочность и жесткость?

Т е м а 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Литература: []Феодосьев В.И., гл. 1; []Сб. задач, гл.5, задачи № 1, 4, 5, 8, 9, 11, 16, 20, 25.

В теории изгиба важную роль играют моменты инерции, поэтому следует рассмотреть этот вопрос предварительно в виде самостоятельной темы. Перед изучением этой темы полезно повторить по учебнику теоретической механики материал о статическом моменте и нахождении центров тяжести плоских фигур. При вычислении моментов инерции надо помнить, что в системе координат XY они представляют собой интегралы типа , , (осевой или экваториальный момент относительно оси Y и X соответственно) или (центробе1жный момент инерции относительно осей XY).

Необходимо запомнить, что теорема о параллельном переносе осей () справедлива только в том случае, если ось Y проходит через центр тяжести фигуры (a – расстояние между осями Y и Y₁). Если, например, известен момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, то по теореме о переносе осей нельзя сразу найти момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через вершину треугольника. Сначала нужно найти по этой теореме момент инерции относительно параллельной центральной оси, а затем определить момент инерции относительно оси, проходящей через вершину. Формула переноса наглядно показывает, что наименьшим их моментов инерций относительно параллельных осей является момент инерции относительно центральной оси.

Из бесконечного множества центральных осевых моментов инерции экстремальными являются моменты инерции относительно главных центральных осей U и V. Главными осями называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. При этом совсем необязательно, чтобы главные оси проходили через центр тяжести, так как через любую точку, лежащую в плоскости фигуры можно провести такие две взаимно перпендикулярные сои, относительно которых центробежный момент инерции будет равен нулю. В теории изгиба весьма важную роль играют главные центральные оси, положение которых для несимметричных сечений определяется так:

1. Делят сложную фигуру на ряд простых, В произвольной системе координат вычисляют статические моменты инерций относительно этих осей и находят положение центра тяжести сечения C.

2. Проводят через центр тяжести всего сечения параллельно выбранным осям произвольные центральные оси x и y. При помощи теоремы о параллельном переносе осей находят центробежный момент и осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей и .

3. Определяют положение главных осей по формуле .

4. Находят величины главных центральных моментов J_U и J_V.

Для проверки правильности вычисления и можно использовать равенства , .

Следует иметь в виду, что при помощи этих равенств можно проверить правильность вычисления положения главных осей (п.3) и значений главных центральных моментов и (п.4); соблюдение этих равенств, однако, не гарантирует правильности вычислений, сделанных в пп.1 и 2.

Если сечение состоит из ряда прокатных профилей, то при вычислениях необходимо пользоваться данными таблиц сортамента. При определении центробежного момента инерции равнобокого или неравнобокого уголка можно сначала найти центробежный момент инерции относительно собственных центральных осей, параллельных полкам, при помощи формулы

где и – главные центральные моменты инерции, величины которых даны в таблицах сортамента. После этого надо применить формулу переноса осей и найти центробежный момент инерции уголка относительно центральный осей всего сечения.

При пользовании формулой поворота осей надо обязательно обратить внимание на знак угла . Если для совмещения оси X₀ с осью X надо повернуть ось X₀ по часовой стрелке, то угол следует считать отрицательным.

После изучения этой темы можно решать задачу 4, включенную в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки:

1. По каким формулам находят координаты центра тяжести плоской фигуры?

2. Чему равна сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

3. Какие оси называются главными?

4. Для каких фигур можно без вычислений установить положение главных центральных осей?

5. Относительно каких центральных осей осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения?

6. Какой их двух осевых моментов инерции треугольника больше: относительно оси, проходящей через основание, или относительно оси, проходящей через вершину параллельно основанию?

7. Какой их двух осевых моментов инерции квадратного сечения больше: относительно центральной оси, проходящей параллельно сторонам, или относительно оси, проходящей через диагональ?

8. Какой их двух главных центральных моментов инерции полукруглого сечения больше: относительно оси, параллельной диаметру, или относительно перпендикулярной оси?

Т е м а 7. Изгиб стержней

Литература: []Феодосьев В.И., гл. 4; []Сб. задач, гл.6, задачи № 1, 5, 16, 20, 23, 31, 39, 42, 44, 47, 57, 67, 78, 87; гл.7, задачи № 1, 3, 5, 6, 7, 11, 17, 19, 28, 40, 58, 59, 70; гл.8, задачи № 1, 23, 24; гл.9, задачи № 4, 6, 9].

Эта тема является самой большой и самой сложной темой курса сопротивления материалов, Ее следует изучать постепенно, обращая внимание на решение задач. Сначала надо усвоить весьма важные понятия внутренних силовых факторов, возникающих при изгибе стержней, изгибающего момента М_x и поперечной (перерезывающей силы) Q_y и научиться достаточно быстро строить их эпюры (графики изменения по длине стержня).

Необходимо помнить, что в соответствии с методом сечений в произвольном поперечном сечении z стержня поперечная сила равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на перпендикуляр к оси стержня. А изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних силовых факторов, расположенных только с одной стороны, относительно главной центральной оси поперечного сечения. В связи с этим при определении М_x и Q_y можно рассматривать в равновесии любую из двух образовавшихся частей в зависимости от того, где проще получить выражения для М_x и Q_y.

Для проверки правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов нужно использовать дифференциальные зависимости, устанавливающие зависимость между Q_y и М_x (теорема Журавского).

Необходимо обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений s по высоте поперечного сечения стержней и на то, что прочность балки зависит от величины осевого момента сопротивления W. Надо ясно представлять, каким путем можно увеличить осевой момент сопротивления без увеличения расхода материала.

Рекомендуется сравнивать между собой эпюры нормальных s и касательных τ напряжений, построенные для стержней прямоугольного поперечного сечения. Нормальные наибольшие и наименьшие напряжения (главные напряжения) находятся по формуле

Далее следует перейти к изучению деформаций при изгибе.

Правая часть дифференциального уравнения изогнутой оси стержня содержит выражение изгибающего момента в произвольном сечении М_x (z), а не в том сечении, для которого находят перемещения (линейные прогибы и углы поворота). М_x (z) – величина переменная, только при чистом изгибе М_x(z)=const. Надо хорошо понять геометрический смысл постоянных интегрирования C и D. Разделив их величины на жесткость сечения при изгибе EI_x, получим соответственно величины угла поворота и прогибы в начале координат.

При наличии нескольких участков, на каждом из которых изгибающий момент выражается различными уравнениями, необходимо начало координат помещать в крайнее левое сечение стержня и интегрирование дифференциального уравнения упругой линии проводить без раскрытия скобок., так как только при соблюдении этих требований произвольные постоянные будут соответственно равны между собой (С₁= С₂= …=С и D₁= D₂=…= D).

В результате можно получить общее уравнение для углов поворота и прогибов, которыми следует преимущественно пользоваться при решении задач аналитическим методом.

После изучения этой темы можно решать задачи 3, 4, включенную в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки:

1. Как находится поперечная сила в произвольном сечении балки?

2. Когда поперечная сила считается положительной?

3. Как находится изгибающий момент в произвольном сечении балки?

4. В каком случае изгибающий момент считается положительной?

5. Какая зависимость имеется между М_x и Q_y?

6. Как находят максимальный изгибающий момент?

7. Какой случай изгиба называется чистым изгибом?

8. По какой кривой изогнется балка в случае чистого изгиба?

9. Как изменяются нормальные напряжения по высоте сечения?

10. Что называется нейтральным слоем и где он находится?