Кривые Безье и В-сплайны

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ

Историю сплайнов принято отсчитывать от момента появления первой работы Шенберга в 1946 году. Сначала сплайны рассматривались как удобный инструмент в теории и практике приближения функций. 0днако довольно скоро область их применения начала быстро расши­ряться и обнаружилось, что существует очень много сплайнов самых разных типов. Сплайны стали активно использоваться в численных методах, в системах автоматического проектирования и автоматиза­ции научных исследований, во многих других областях человеческой деятельности и, конечно, в компьютерной графике. Сам термин "сплайн" происходит от английского spline. Именно так называется гибкая полоска стали, при помощи которой чертежни­ки проводили через заданные точки плавные кривые. В былые времена подобный способ построения плавных обводов различных тел, таких, как, например, корпус корабля, кузов автомобиля, а потом фюзеляж или крыло самолета, был довольно широко распространен в практике машиностроения. В результате форма тела задавалась при помощи набора очень точно изготовленных сечений - плазов. Появление компьютеров позволило перейти от этого, плазово-шаблонного, метода к более эффективному способу задания поверхности обтекаемoгo тела. В основе этого подхода к описанию поверхностей лежит использование сравнительно несложных формул, позволяющих восстанавливать облик изделия с необходимой точностью. Ясно, что для большинства тел, встречающихся на практике, вряд ли возможно отыскание простых универсальных формул, которые описывали бы соответствующую поверхность глобально, то есть, как принято говорить, в целом. Это означает, что при решении задачи построения достаточно произвольной поверхности обойтись небольшим количеством формул, как правило, не удается. Вместе с тем аналитическое описание (описание посредством формул) внешних обводов изделия, то есть задание в трехмерном пространстве двумерной поверхности, должно быть достаточно экономным. Это особенно важно, когда речь идет об обработке изделий на станках с числовым программным управлением. Обычно поступают следующим образом: задают координаты сравнительно небольшого числа опорных точек, лежащих на искомой поверхности, и через эти точки проводят плавные поверхности. Именно так поступает конструктор при проектировании кузова автомобиля (ясно, что на этой стадии процесс проектирования сложного объекта содержит явную неформальную составляющую). На следующем шаге конструктор должен получить аналитическое представление для придуманных кривых или поверхностей. Вот для таких задач и используются сплайны.

Средства компьютерной графики, особенно визуализация, существенно помогают при проектировании, показывая конструктору, что может получиться в результате, давая ему многовариантную возможность сравнить это с тем, что сложилось у него в голове.

Мы не ставим перед собой и читателем задачи рассказать обо всех сплайнах, в частности потому, что это отдельная большая тема, требующая и большего внимания, и большего объема. В данном курсе нам кажется более уместным показать в сравнении некоторые из преимуществ использования сплайнов в задачах геометрического моделирования при проектировании кривых и поверхностей. Такое представление полезно начинающему пользователю для его ориентации в стремительно расширяющемся мире сплайнов. При этом мы ограничимся лишь сплайнами, в построении которых используются кубические (в случае одномерных сплайнов - сплайновых кривых) и бикубические (в случае двумерных сплайнов - сплайновых поверхностей) многочлены. В компьютерной графике подобные сплайны применяются наиболее часто.

Достаточно типичной является следующая задача: по заданному массиву точек на плоскости (2D) или в пространстве (3D) построить кривую либо проходящую через все эти точки (задача интерполяции), либо проходящую вблизи от этих точек (задача сглаживания).

Совершенно естественно возникают вопросы:

1) в каком классе кривых искать решение поставленной задачи? и

2) как искать?