Геометрические преобразования в 2D и 3D графике

Изменение масштаба. Диагональные элементы основной матрицы преобразования 4х4 осуществляют частичное и полное изменение масштабов. Рассмотрим преобразование

,

которое производит частичное изменение масштабов. Общее изменение масштаба получается за счет использования

четвертого диагонального элемента, т. е.

.

Такой же резуль-тат можно получить при равных коэффициентах частичных изменений масштабов. В этом случае матрица преобразования должна быть равной

Сдвиг. Матрица сдвига имеет вид. Матрица обратного преобразования получается путем замены знака у Tx, Ty, Tz.

Вращение. Если определитель матрицы 3х3 равен +1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

При вращении вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются. Таким образом, матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и первом столбце, за исключением единицы на главной диагонали. Это приводит к матрице преобразования, соответствующей повороту на угол q вокруг оси х и определяемой соотношением

Вращение предполагается положительным, т. е. по часовой стрелке, если смотреть из начала координат вдоль оси вращения. Подобным образом вращение вокруг осей y и z определяется отношениями:

, .

Так как вращения описываются умножением матриц, то трехмерные вращения некоммутативные, т. е. порядок умножения будет влиять на конечный результат.

Идея описания точки вектором возникла из геометрических представлений. Теоремы геометрии развивались как для перспективной, так и для аффинной геометрии. В ней важными являются понятие параллельности и соотношения между параллельными линиями.Аффинное преобразование является комбинацией линейных преобразований, сопровождаемых переносом изображений. Для аффинного преобразования последний столбец в обобщенной матрице преобразования размера 4х4 должен быть равен [0 0 0 1]. Аффинные преобразования формируют удобную подсистему билинейных преобразований, так как произведение двух аффинных преобразований также является аффинным. Это позволяет представить обобщенную ориентацию системы точек по отношению к произвольной координатной системе при сохранении единичного значения однородной координаты H.

Матрица композиции нескольких преобразований может быть получена путем перемножения матриц, соответствующих этим преобразованиям, справа налево.