Многокритериальная линейная оптмизация экономических моделей

© Рудык О.Г., Чан Т., 2014

Создание линейного программирования было важным достижением в области моделирования производственных и экономических систем. Однако, при всех безусловных его достоинствах, оно обладает и рядом недостатков. Один из этих недостатков заключается в том, что оценка качества управления осуществляется по численному значению одной целевой функции. В то же время практически любая серьезная реальная задача характеризуется больше, чем одним критерием. Многокритериальная оптимизация чаще применяется при решении детерминированных задач с большим числом возможных альтернатив (целей), она пригодна для решения проблем в бизнесе и государственном управлении (планирование производства, транспортировки, выбор портфеля ценных бумаг и т.д.).

Многокритериальная оптимизация или многокритериальное математическое программирование – это задачи оптимизации, в которых имеется несколько целевых функций. Нужно получить решение, которое в некотором смысле является наилучшим по всей совокупности целевых функций. Например, требуется найти значение , которые должны удовлетворить таким ограничением:

, (1)
для которых функции

, (2)
достигают максимального значения.

Множество точек , удовлетворяющих системе (1), образует допустимую область . Элементы этого множества называются допустимыми решениями или альтернативами, а числовые функции , – целевыми функциями, или критериями, заданными на множестве . целевых функций отображают множество в множестве , которое называется множеством допустимости. В векторной форме математическую модель многокритериальной оптимизации (МКО) можно записать следующим образом:
при .
Здесь - вектор функции аргумента .

Впервые проблему МКО изучал итальянский экономист В.Парето в 1904 г. при математическом исследовании товарного обмена. В дальнейшем интерес к проблеме МКО усилился в связи с разработкой и использованием вычислительной техники, и уже позднее стало ясно, что многокритериальные задачи возникают также и в технике, например, при проектировании сложных технических систем.

В отличие от задач оптимизации с одним критерием в МКО имеется неопределенность в смысле важности одних целей по отношению к другим. Действительно, существование решения, максимизирующего одновременно несколько целевых функций, является редким исключением, поэтому с математической точки зрения задачи МКО являются неопределенными и решением может быть только компромиссное решение.

Например, предприятие ставит цель – максимизация прибыли при минимальных затратах. Очевидно, что с системных позиций такие противоречивые устремления руководителя просто нереальны, так как прирост прибыли в процессе производства всегда связан с дополнительными или, иными словами, переменными издержками. Минимизировать издержки можно лишь ничего не производя, но тогда и прибыль равна нулю. Или можно сказать, что чем больше затраты, тем больше должно быть продукции и тем больше прибыль. Однако, если поставить задачу производства заданного объема продукции при минимальных затратах, то это, вполне реальная цель, но задача получается однокритериальной.

Основные проблемы, возникающие при разработке методов МКО:
1. Проблема нормализации критериев, то есть приведение критериев к единому (безразмерному) масштабу измерения.

2. Проблема выбора принципа оптимальности, то есть установление, в каком смысле оптимальное решение лучше всех остальных решений.

3. Проблема учета приоритетов критериев, возникающая в тех случаях, когда из физического смысла ясно, что некоторые критерии имеют приоритет над другими.

4. Проблема вычисления оптимума задачи МКО. Речь идет о том, как использовать методы линейной, нелинейной, дискретной оптимизации для вычисления оптимума задач с определенной спецификой.

При решении многокритериальной задачи часто возникает необходимость нормализации (нормирования) критериев , то есть приведение всех критериев к единому масштабу и безразмерному виду. Наиболее часто используется замена критериев их безразмерными относительными величинами: , где . Нормализованные критерии обладают двумя важными свойствами: во-первых, они являются безразмерными величинами, и, во-вторых, они удовлетворяют неравенству для любого . Эти свойства позволяют сравнивать критерии между собой.

Другим распространенным подходом к решению задача МКО является метод последовательных уступок.

На Рис.1 представлены основные методы, применяемые при решении задач многокритериальной оптимизации.

Для численного решения задач МКО можно использовать различные пакеты программ, которые позволяют выполнять многовариантные расчеты, такие как, например, Mathlab и Optimization Toolbox, Simulink, Multiobjective Optimization и Genetic Algorithm.

Рис.1. Методы решения задач многокритериальной оптимизации

Типичной областью практического применения теории многокритериальной оптимизации является оптимизация управления материальными потоками в цепях поставок. Проблема заключается в том, что каждый участник цепи поставок имеет свои критерии оптимизации, в то время как наивысший приоритет имеет глобальная цель (например, минимизация полных логистических затрат по всей цепи).

Литература

1. Соловьев В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие/В.И. Соловьев. -

М.: Финансовый университет, 2012. - 364 с.

2. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и

приложения: Пер. с англ./ Р. Штойер. – М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.