Среднее квадратичное

, т. е. =9,51.

Кроме того, в каждом способе усреднения отдельным числам могут придаваться разные веса, в зависимости от их важности или надёжности. Так например, если число х ₁ в два раза надёжнее, чем х ₂, то, скажем, в среднем арифметическом ему придаётся вес р ₁=2, а числу х ₂ – вес р ₂=1. И тогда

9,33.

У всех средних есть лишь одно общее свойство:

< < х _max.

Одним из самых распространённых способов усреднения является метод наименьших квадратов (МНК), который, в свою очередь, имеет несколько вариантов. Идея метода наименьших квадратов состоит в следующем.

Пусть теория предсказывает, что зависимость одной физической величины (у) от другой (х) является линейной, т. е. описывается функцией

у = ах + b. (4)

И пусть при экспериментальной проверке линейности (4), а также с целью определения коэффициентов а и b получена серия экспериментальных точек

(х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂), …,(х_п, у_п), (5)

где п – число измерений. Если п > 2, то задача проведения прямой по множеству этих точек является, вообще говоря, неоднозначной. В связи с этим, возникает задача: каким образом провести прямую, наиболее хорошо проходящую через множество точек (5)? Термину «наиболее хорошо», или «оптимально», может быть придан разный смысл, т. е. приняты разные критерии оптимальности аппроксимирующей прямой. Обычно принимается следующий критерий: оптимальной считается такая прямая (4), для которой функционал

, (6)

где х_i и y_i – экспериментальные значения х и у (рис. 1).

Условие минимума функционала (6) даёт два уравнения для определения коэффициентов а и b оптимальной прямой:

, . (7)

Дифференцируя (6) сначала по а, а затем по b, получаем:

или:

Отсюда выражаем искомые коэффициенты а и b через координаты экспериментальных точек (5):

Замечание. 1. Если, согласно теории, прямая (4) заведомо должна проходить через начало координат, т. е. b = 0, то оптимизируется только наклон прямой, т. е. только коэффициент а. В этом случае из уравнений (7) остаётся только первое. Оно даёт:

Замечание 2. Иногда целесообразно считать оптимальной такую прямую, для которой минимальной является сумма квадратов относительных отклонений от неё всех экспериментальных точек. Тогда, например, для получения оптимальной прямой вида у = ах имеем подлежащий минимизации функционал

Полагая , получаем для оптимального в этом смысле коэффициента а:

Замечание 3. Линейная аппроксимация вида (4) является лишь частным случаем многих других аппроксимирующих функций. Так например, если экспериментальную серию точек (5) требуется аппроксимировать квадратичной зависимостью вида

то коэффициенты а, b и с оптимальной параболы определяются минимизацией функционала

по параметрам а, b и с, т. е. из системы уже трёх уравнений:

, , .

6. ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

6.1. Виды приборов

В лаборатории используются следующие виды электроизмерительных приборов:

● экранные (осциллографы),

● цифровые (амперметры, вольтметры, мультиметры),

● стрелочные (амперметры, вольтметры, омметры).

Точность цифрового прибора определяется числом разрядов на его табло. Обычно их четыре. Последний разряд считается малодостоверным. Если, например, четырёхразрядный вольтметр показывает число 157,3, то результат следует понимать так: и = 157,3±0,1 В. Таким образом, приборная ошибка Δ х _пр – это единица последнего разряда. Если же цифра в последнем разряде нестабильна (например, то 2, то 3, то снова 2), то приборная ошибка увеличивается до единицы предпоследнего разряда: и = 157±1 В.

6.2. Стрелочные электроизмерительные приборы

6.2.1. Ценя деления шкалы прибора

Определение. Приращение измеряемой величины х, соответствующее одному делению шкалы, называется ценой деления шкалы прибора.

Пример 1. Пусть шкала микроамперметра имеет N = 50 делений, а

I _max = 100 мкА. Тогда цена деления α = I _max/ N = 2 мкА/дел.

Величина, обратная цене деления, называется чувствительностью прибора. В Примере 1 чувствительность прибора равна 0,5 дел/мкА.

6.2.2. Класс точности прибора

За абсолютную погрешность прибора Δ х _пр обычно принимается цена деления его шкалы: Δ х _пр = α, хотя в хороших приборах с зеркальной шкалой за Δ х _пр часто берётся половина деления шкалы: Δ х _пр = α/2.

Величина даёт относительную погрешность прибора в данном месте его шкалы, т. е. там, где находится стрелка. Ясно, что в начале шкалы, где х мало, величина δ велика, а в самом конце шкалы, где х →max, относительная погрешность δ минимальна.

Пример 2. В приборе из Примера 1 минимальная погрешность

δ_min= .

Пример 3. Если Δ х = α/2, то δ_min= .

Определение. Величина минимальной относительной погрешности

δ_min =δ₀ в процентах, когда стрелка находится в конце шкалы, называется классом точности данного прибора.

Отсюда следует, что класс точности прибора из Примера 2: δ₀ = 2.0, а прибора из Примера 3: δ₀ = 1.0.

Реально на шкалах стрелочных приборов указывается не абсолютная погрешность Δ х _пр, а именно его класс точности δ₀. А уж величина Δ х _пр определяется по формуле:

Δ х _пр = х _max·δ₀

(здесь δ₀ выражается, конечно же, не в процентах, а в долях единицы).

Промышленностью выпускаются (выпускались) стрелочные приборы следующих классов:

● 0.05, 0.1, 0.2 – прецизионные (высокоточные) приборы,

● 0.5, 1.0, 1.5 – лабораторные приборы,

● 2.0, 2.5, 4.0 – технические приборы.

6.2.3. Многопредельные приборы

Для расширения диапазона измерений одним и тем же прибором в нём делается переключатель пределов, который, изменяя предел х _max, например, в 3, 10, 30, 100 раз, позволяет проводить измерения в разных диапазонах примерно с одинаковой относительной погрешностью δ. Такие приборы называются многопредельными.

Пример 4. Пусть имеется вольтметр класса δ₀ = 1.0 с пределами шкалы и _max= 3 В, 30 В, 300 В. И требуется измерить напряжение и = 15 В.

Ясно, что предел 3 В в этом случае нельзя выставлять вообще, так как стрелка зашкалит и прибор может испортиться.

Выставим предел и _max = 30 В. Тогда абсолютная погрешность шкалы Δ и _пр= и _max ·δ₀ = 30·0,01 = 0,3 В. Следовательно, относительная погрешность измерения напряжения и = 15 В будет такой:

δ = 0,02 = 2%.

Выставим теперь предел и _max = 300 В. В этом случае абсолютная погрешность шкалы Δ и _пр= и _max ·δ₀ = 300·0,01 = 3 В, а относительная погрешность измерения напряжения и = 15 В теперь будет такой:

δ = 0,2 = 20%,

т. е. в 10 раз больше, чем на пределе 30 В.

Таким образом, предел надо выставлять таким, чтобы при измерении данного напряжения стрелка была по возможности ближе к концу шкалы. Это уменьшает относительную погрешность δ, приближая её к предельно возможной для данного прибора δ_min = δ₀.

Необходимо, однако, помнить, что если измеряемая величина заранее неизвестна даже приблизительно, то, чтобы не испортить прибор, измерения следует начинать с заведомо бóльшего предела, уменьшая его затем до тех пор, пока следующее переключение уже приведёт к зашкаливанию.

6.2.4. Системы стрелочных приборов

Система стрелочного электроизмерительного прибора – это способ сообщения стрелке прибора вращающего момента, т. е. это характеристика принципа действия прибора. Существует несколько систем приборов, выбор из которых определяется требованиями к измерениям и условиями эксплуатации.

6.2.4.1. Магнитоэлектрические приборы

В этих приборах вращающий момент создаётся взаимодействием рамки с током (а именно – с измеряемым током) с полем постоянного магнита. Эти приборы устроены следующим образом.

На лёгкую рамку намотано несколько десятков витков тонкого провода. К оси рамки прикреплена стрелка и пружинка, удерживающая стрелку в исходном положении. Рамка находится в кольцевом зазоре между полюсными наконечниками постоянного магнита и железным цилиндрическим барабаном, вокруг которого она может вращаться (рис. 2). В зазоре есть довольно сильное радиальное магнитное поле В.

При протекании по виткам рамки постоянного тока i (измеряемого тока) на каждую из сторон рамки в зазоре действует сила Ампера

F = N (ilB),

где N – число витков обмотки рамки, l – длина части рамки, лежащей в зазоре. Пара сил F создаёт вращающий момент на рамку

М = Fd,

где d – размер торцевой части рамки. Но поскольку поле В в зазоре радиально, то силы F нормальны к плоскости рамки в достаточно широком диапазоне углов её поворота. Следовательно,

М = Fd = NilBd = (NBS) i,

где S = ld – площадь рамки. Равновесное положение стрелки определяется равенством моментов сил со стороны поля и пружинки, т. е.

(NBS) i = k φ,

где k – жёсткость пружины, φ − угол её закручивания. Таким образом, равновесный угол отклонения стрелки

φ = .

пропорционален току через рамку. Отсюда следует, что приборы магнитоэлектрической системы имеют равномерную шкалу, что является их важным достоинством.

Но наиболее важным достоинством приборов этой системы является их высокая чувствительность, достигающая нескольких наноампер на деление. Это наиболее точные приборы постоянного тока.

Однако, ими нельзя непосредственно измерять переменные токи и напряжения. Кроме того, эти приборы очень нежны: они не выдерживают даже незначительных перегрузок, так как при этом сразу перегорает тончайшая обмотка подвижной системы (рамки).

6.2.4.2. Электромагнитные приборы

В электромагнитных приборах вращающий момент на стрелку создаётся взаимодействием катушки с током (с измеряемым током) и ферромагнитного сердечника, который втягивается в неё. Сердечник подвешен на оси и при втягивании вращает стрелку (рис. 3). К этой же оси прикреплена пружинка, создающая возвращающий момент.

Шкала у этих приборов существенно неравномерна, что является из существенным недостатком. Кроме того, они имеют сравнительно низкую чувствительность и боятся внешних магнитных полей.

Основным же достоинством приборов электромагнитной системы является возможность измерения ими как постоянных, так и переменных токов и напряжений, так как электромагнит будет втягивать сердечник в любом случае. Кроме того, эти приборы сравнительно устойчивы к механическим и электрическим перегрузкам.

6.2.4.3. Электродинамические приборы

Момент на стрелку в этих приборах создаётся взаимодействием неподвижной и подвижной катушек с токами. Приборы электродинамической системы обычно используются в измерителях мощности – ваттметрах. Включая неподвижную катушку как амперметр, т. е. последовательно с нагрузкой, а подвижную – как вольтметр, т. е. параллельно нагрузке, получают отклоняющий момент, пропорциональный произведению тока и напряжения, т. е. мощности, потребляемой нагрузкой.

6.2.4.4. Электростатические приборы

Вращающий момент на стрелку в этих приборах создаётся взаимодействием двух систем заряженных пластин, одна из которых является подвижной (рис. 4).

Главным достоинством таких приборов является их практически бесконечное внутреннее сопротивление (r_i ~ 10¹⁴ Ом!), что делает их идеальным вольтметром в их рабочем диапазоне. Ими можно измерять как постоянное, так и переменное напряжения. Но они имеют и важные недостатки: 1) очень низкую чувствительность, не позволяющую измерять напряжения менее, скажем, десятка вольт; 2) невозможность измерять ими токи.

6.2.5. Обозначения на шкале прибора

На шкале стрелочного электроизмерительного прибора нанесены, как правило, следующие обозначения:

6.2.5.1. Назначение прибора

А – амперметр; включается последовательно в участок цепи, где надо измерить ток; поэтому амперметры (а особенно мили- и микроамперметры) должны быть надёжно защищены от случайных перегрузок и коротких замыканий в цепи;

мА – миллиамперметр;

μА – микроамперметр;

V – вольтметр; подключается параллельно к исследуемому участку, и поэтому не требует специальных предосторожностей, если только его шкала допускает измерение любого напряжения в данной цепи;

W – ваттметр;

Ω – омметр; подключается только к обесточенному элементу цепи.

6.2.5.2. Система прибора