2015-05-30
24760
Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d. Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений
(dА, dВ, dС, …).
Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:
1. Находят натуральный логарифм от заданной функции
ln{X = f(A,B,C,…)};
2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;
3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;
4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС, … на «плюсы».
В результате получается формула наибольшей относительной погрешности dx косвенно измеренной величины Х:
dx = 
= j (Aср, Bср, Cср, …, DAср, DBср, DCср, …). (18)
По найденной относительной погрешности dx определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:
DХср = dx . Хср. (19)
Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:
X = (Xср ± DХср), ед.изм. (20)
Рис. 2.2.
Пример:
Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L, определяемой косвенно по формуле:
, (21)
где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).
1. Вычисляют среднее значение Lср, подставляя в (21) средние значения из таблицы – πср, gср , tср , kср , αср , βср.
2. Определяют наибольшую относительную погрешность δL:
a). Логарифмируют формулу (21):
(22)
b). Дифференцируют полученное выражение (22):
(23)
c). Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δL:
δL = 
d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δL.
3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔLср:
Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L:
, ед. изм.
 |
2. Правила округления результатов вычисления
Результаты математических действий над приближенными числами округляют до следующего количества значащих цифр:
a) при сложении и вычитании отбрасывают значащие цифры из последних разрядов, если их нет в одном их слагаемых;
b) при умножении и делении сохраняют столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством этих цифр;
c) при вычислении значений функций An, 
, lgA оставляют столько значащих цифр, сколько их в А.
В промежуточных результатах сохраняют на одну («запасную») цифру больше.
Примеры:
1) 0,374 + 13,1 + 2,065 ≈ 15,5
Отброшены сотые и тысячные доли единиц, отсутствующие в числе 13,1.
2) 
Оставлены две значащие цифры по их количеству в числе 7,2.
3) 2163 ≈ 101·105
Оставлены три значащие цифры по их количеству в числе 216.
3. Оформление результатов прямых и косвенных измерений
Результаты измерений записывают в стандартном виде с использованием нормальной формы записи чисел, заменяя незначащие нули соответсвующей степенью десяти.
Обязательно указывается относительная погрешность измерения в процентах.
Округление конечных результатов делается по следующим правилам:
a) в среднем значении абсолютной погрешности DХср оставляют одну не нулевую значащую цифру (или две, если первая цифра – единица);
b) в среднем значении результата измерения Xср оставляют все верные цифры и одну сомнительную (две, если округленная погрешность содержит две значащие цифры).
Сомнительными считаются цифры в последних разрядах Xср, начиная с разряда, использованного для записи абсолютной погрешности DХср..
Для сравнения полученного результата с данными другого опыта или с табличным значением следует показать интервалы сравниваемых величин на числовой оси.
При частичном или полном перекрытии интервалов можно делать вывод о равенстве величин в пределах погрешности измерений.
Пример:
