2015-03-07
17657
Полное приращение 
функции z определяется равенством
. (1)
Замечание. Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений: 
.
Определение 2. Функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
, (2)
где 
и 
при 
, 
.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (2) представляет собой главную часть приращения функции.
Определение 3. Полным дифференциалом ( или просто дифференциалом) функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно 
и 
. Обозначается символом 
:
. (3)
Для независимых переменных x и y полагают 
и 
. Поэтому равенство (3) можно представить в виде
. (4)
Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке 
, то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные 
и 
, причем 
, 
.
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (4) принимает вид:
. (5)
Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (5).
Рассмотрим типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия:
Пример 1. Найти частные производные функций:
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
а) Чтобы найти частную производную по x, считаем y постоянной величиной. Таким образом, 
. Аналогично, дифференцируя по y, считаем x постоянной величиной, т.е. 
.
б) Чтобы найти частную производную по x, считаем y постоянной величиной. Таким образом, 
. Аналогично, дифференцируя по y, считаем x постоянной величиной, т.е. 
.
в) При фиксированном y имеем степенную функцию от x. Таким образом, 
.
При фиксированном x функция является показательной относительно y и 
.
Пример 2. Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению
.
Решение.
Находим
(при постоянных y и z);
(при постоянных x и z);
(при постоянных x и y).
Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного уравнения:
.
Получаем тождественное равенство, т.е. функция u удовлетворяет уравнению.
Пример 3. Поток пассажиров z выражается функцией 
, где x – число жителей; y – расстояние между городами. Найти частные производные этой функции и пояснить их смысл.
Решение.
Производная 
показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производная 
показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами.
Пример 4. Пусть 
– производственная функция, где x – затраты живого труда, y – затраты овеществленного труда. Найти эластичность функции: 
и 
в точке 
.
Решение.
Приближенный процентный прирост функции z, соответствующий приращению независимой переменой x на 1%,
,
а приближенный процентный прирост функции z, соответствующий приращению независимой переменой y на 1%,
.
Найдем частные производные по x и по y:
, 
.
Тогда
, 
.
В заданной точке 
, 
.
С увеличением затрат живого труда на 1% объем производства увеличится на 0,67%, а с увеличением затрат овеществленного труда на 1% объем производства увеличится на 1,33%.
Пример 5. Найти дифференциал функции 
.
Решение.
1. Находим частные производные
; 
.
2. Используя формулу (5) получим выражение для дифференциала
.
