Содержание
1. Понятие отношения между элементами одного множества.
2. Способы задания отношений.
3. Свойства бинарных отношений.
4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
Дополнительная литература [1, 10, 14, 74]
Понятие отношения между элементами одного множества
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.
Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.
Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.
|
|
Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2< 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения Х´Х, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества Х´Х.
Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х´Х.
Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то определимся, на множестве Х мы их будем определять следующим образом:
Определение. Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х ´Х.
Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.
Если R – отношения на множестве Х, то, согласно определению, RÌ Х´Х. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества Х´Х, то оно определяет на множестве Х некоторое отношение R.
Замечание. Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записать так: (х,у) Î R или х R у. Последняя запись читается: “Элемент х находится в отношении R с элементом у”.