Действия со множествами

Дополнениеммножества до универсального множества называется множество , элементы которого не принадлежат .

Пересечениемдвух множеств А и В называется множество A , состоящее изэлементов, принадлежащих множеству А и множеству В.

Объединением множеств А и В называется множество A B, состоящее изэлементов, принадлежащих множеству А или множеству В.

Разностьюмежду множествами А и В называется множество , состоящее изэлементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Симметрической разностьюмножеств А и В называется множество (, равное объединению двух разностей и .

Порядок выполнения операций в выражениях определяется следующим образом. Прежде всего выполняется операция дополнения множества до универсального множества . Затем выполняются последовательно слева направо действия, заданные в скобках. Пересечение считают теоретико-множественным умножением, а объединение – теоретико-множественным сложением. Поэтому сначала выполняют операцию пересечения и только после нее – объединения или разности. Пересечение и объединение рассматривают как умножение и сложение в силу того, что своими свойствами они напоминают эти арифметические операции. По этой же причине пустое множество похоже на число 0, а универсальное множество – на число 1.

Законы теории множеств, верные для любых множеств А, В, С.

1. A Ç B = B Ç A – закон коммутативности пересечения.

2. A È B = B È A – закон коммутативности объединения.

3. A Ç(B Ç C) = (A Ç B)Ç C – закон ассоциативности пересечения.

4. A È(B È C) = (A È B)È C – закон ассоциативности объединения.

5. A Ç(B È C) = (A Ç B)È(A Ç C)– закон дистрибутивности пересечения относительно объединения.

6. A È(B Ç C) = (A È B)Ç(A È C) – закон дистрибутивности объединения относительно пересечения.

7. A Ç A = A – закон идемпотентности пересечения.

8. A È A = A – закон идемпотентности объединения.

9. A ÇÆ = Æ. 10. A ÈÆ= A. 11. A Ç = A. 12. A È = .

13. A Ç =Æ – закон противоречия. 14. A È = – закон исключенного третьего.

15. = È – закон де Моргана для дополнения пересечения.

16. = – закон де Моргана для дополнения объединения.

17. A Ç(B È A) = A – закон поглощения. 18. A È(B Ç A) = A – закон поглощения.

19. (A Ç B)È(A Ç ) = A – закон склеивания. 20. (A È B)Ç(A È ) = A – закон склеивания.

21. A = – закон инволюции. 22. A - B = A Ç . 23. A Å B = (A È B) -(A Ç B).

Замечание 1. Очевидно, что = и = Æ.

Замечание 2. Законы де Моргана можно распространить на большее число

множеств.

Пример 1. Задано универсальное множество , множества и . Выполнить действия , , , , , , , , , , .

Решение. Выполним действия , , , , =(, , , , = , = .

Пример 2. Задано универсальное множество , множества , , , , . Найти множество .

Решение. Зададим множества и перечислением элементов , . Выполним последовательно действия: , , , , .

Пример 3. Доказать справедливость утверждения A Å(B - A Ç B) = A È B с помощью таблицы принадлежности и используя законы теории множеств.

Решение.

Составим таблицу принадлежности, рассмотрев четыре возможных случая принадлежности некоторого элемента двум множествам:

Результаты выполнения действий над множествами в левой и правой частях совпадают, значит, утверждение справедливо.

Применим законы логики.

Возьмем левую часть A Å(B - A Ç B) данного равенства и сведем ее к правой части A È B.

. Утверждение справедливо.