Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением неравенства Коши–Буняковского и Минковского имеют вид

1) В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением неравенства Коши–Буняковского и Минковского имеют вид:

, .

Первое неравенство в силу означает, что , второе − что длина стороны треугольника не превосходят суммы длин двух других сторон.

2) В неравенства Коши–Буняковского и Минковского дают:

3) В с обычным скалярным произведением и имеем

неравенство Коши–Буняковского

;

неравенство Минковского

4) В со скалярным произведением с положительно определённой симметрической матрицей имеем

неравенство Коши–Буняковского

;

неравенство Минковского

Замечание. Если векторное пространство дано над полем , то аналогично строится теория унитарных (или эрмитовых) пространств. В этом случае аксиомы 1) и 4) принимают соответственно вид:

1) ;

4) и , если .

Отметим, что неравенство Коши–Буняковского в этом случае принимает вид:

В –мерном комплексном координатном пространстве C стандартное скалярное произведение векторов C задается формулой

2°. Ортогональные и ортонормированные системы векторов.

Из неравенства Коши–Буняковского следует, что корректно можно ввести следующее

Определение 3. Для любых принадлежащих евклидовому пространству E определен угол между ними: .

Определение 4. Элементы E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть . Тогда .

Очевидно, что если ортогонален , то ортогонален .

Лемма 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору из E и является единственным вектором, обладающим этим свойством.

Доказательство самостоятельно.

Определение 5. Сумму двух ортогональных векторов назовем гипотенузой треугольника, построенного на векторах .

Лемма 2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство: .■

Обобщение. Если E − взаимно ортогональны Þ

Определение 6. Система векторов евклидова пространства E называется ортогональной, если она либо состоит из одного вектора, либо её векторы попарно ортогональны.

Теорема 3. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства является линейно независимой.

Доказательство: Пусть − ортогональная система векторов и пусть

с некоторыми постоянными . Умножая это равенство скалярно на , получаем

Т.к.

все − линейно независимы. ■

Определение 7. Ортогональная система, состоящая из векторов единичной длины, называется ортонормированной.

Определение 8. В –мерном евклидовом пространстве E система ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.

Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.

Доказательство. Т.к. пространство E − –мерное, то существуют векторов , которые линейно независимы. Покажем, что можно построить векторы , получающиеся как линейные комбинации , которые образуют ортонормированный базис. Доказательство методом математической индукции:

Если − очевидно, т.к.

Пусть удалось построить векторов , которые попарно ортогональны, их нормы равны единице, и получены как линейные комбинации . Будем искать вектор . Выберем так, чтобы был ортогонален . Умножая скалярно на , в силу ортонормированности имеем:

Þ //т.к. // Þ .

Очевидно, что полученный , т.к. он является линейной комбинацией Þ Þ система − ортонормированная и получена как линейная комбинация . ■

Замечание 1. В доказательстве теоремы 4 использовался следующий алгоритм ортогонализации системы векторов, известный как алгоритм Грамма–Шмидта:

пусть − линейно независимы. Тогда попарно ортогональные единичные вектора получаются по следующим формулам:

(4)

Замечание 2. В любом евклидовом пространстве можно построить много ортонормированных базисов. Примером ортонормированного базиса в с обычным скалярным произведением могут служить вектора

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис -мерного евклидова пространства E . Пусть E − произвольный вектор и

Умножая обе части равенства скалярно на получим:

т.е. координаты произвольного вектора относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы. Поскольку скалярное произведение на вектор , естественно назвать проекцией на , то, следовательно, координаты произвольного относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы.

Таким образом, ортонормированный базис похож на ортонормированный базис в пространстве геометрических векторов.

3°. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей. Матрица Грама.

Пусть в произвольном евклидовом пространстве E задан базис . Это позволяет E представить в виде . Вычислим скалярное произведение :

Отсюда следует, что если базис − ортонормированный, то есть , то

Теорема 5. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если же базис { } − произвольный, то произведения обозначим и введем в рассмотрение квадратную матрицу

= = ,

называемую матрицей Грама базиса { }. В силу коммутативности скалярного произведения , т.е. матрица Грама симметрическая.

Обозначим = , . Тогда скалярное произведение можно переписать в матричном виде:

Если { } − ортонормированный, то и .

Рассмотрим два базиса { } и { }, связанные при помощи матрицы перехода : если и , т.е. . Тогда для базиса { } матрица Грама имеет вид:

(5)

Эта формула даёт связь между матрицами Грама для двух связанных между собой базисов. Равенство (5) в матричном виде имеет вид:

(6)

что легко проверить прямыми вычислениями.

Рассмотрим последнюю формулу в частном случае, когда { } – ортонормированный. Тогда и формула (6) имеет вид:

вычисляя определитель в силу теоремы об определителе произведения матриц, имеем:

Так как { } – произвольный базис // т.к. det 0 //

Теорема 6. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

Эта теорема может быть усилена.

Теорема 7. Пусть ,…, − произвольные (не обязательно линейно независимые) вектора в евклидовом пространстве. Тогда определитель матрицы

составленной из попарных скалярных произведений, положителен, если вектора линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из теоремы 6, т.к. если ,…, − линейно независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке.

Докажем второе утверждение. Если векторы – линейно зависимы, то выполнено равенство , где хотя бы одно . Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов получим систему уравнений

которой удовлетворяет ненулевое решение определитель матрицы этой системы равен нулю.■

Замечание. Доказанная теорема обобщает неравенство Коши–Буняковского, которое имеет место при .

4˚. Ортогональное дополнение к линейному подпространству.

Определение 9. Два множества и векторов евклидова пространства E называются ортогональными, если каждый вектор первого множества ортогонален к каждому вектору второго.

В частности, будем говорить, что вектор ортогонален к множеству , если ортогонален каждому .

Ортогональность и обозначается .

Лемма 3. Если два множества и ортогональны, то их пересечение либо пусто, либо состоит только из нулевого вектора.

Доказательство. На самом деле, если и . ■

Следствие. Сумма ортогональных подпространств всегда является прямой суммой.

Доказательство. Это следует из того, что их пересечение в силу леммы 3 состоит только из нулевого вектора сумма прямая. ■

Пусть – подпространство евклидового пространства.

Определение 10. Ортогональным дополнением подпространства E называется множество всех векторов, перпендикулярных каждому вектору из .

Ортогональное дополнение к обозначается .

Очевидно, что – линейное подпространство; на самом деле, если , а , то ( u+ v,w) = (u,w)+ (v,w) = О u + v U ,что и требовалось доказать.

Теорема 8. Евклидово пространство E есть прямая сумма любого своего подпространства U и его ортогонального дополнения U .

Доказательство. Пусть dim U=k и пусть e ,…, e − ортонормированный базис в U. В силу известной теоремы эти вектора можно дополнить до базиса во всём пространстве . Применяя к ним процесс ортогонализации Грама-Шмидта, получим ортонормированный базис e ,…, e евклидова пространства .

Любой элемент х E может быть разложен по этому базису:

x = x e +…+ x e + x e +… +x e ,

т.е. х=x +x , где x = x e +…+ x e U, а x = x e +… +x e U ,

в силу ортонормированности базиса. Следовательно, в силу следствия к лемме 3, сумма U и U – прямая сумма. ■

Следствие 1. (U ) = U.

Следствие 2. E может быть единственным образом представлен в виде х= x +x , где x U, x U . При этом x называется ортогональной проекцией вектора на подпространство U, а x − ортогональной составляющей относительно U.

Задача. В E подпространство U натянуто на векторы =(1,0,1,1), и =(0,1,1,–1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора =(1,2,0,1) на подпространство U.