2015-06-10
3366
1. Равномерное распределение. 
Случайная величина x непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке:
f(x) = 
(9)
Вычислим математическое ожидание и дисперсию: 
,
= 
Рассмотренное в Примере 13 распределение является равномерным при a = 0
и b = 1.
2. Показательное (экспоненциальное) распределение:
Случайная величина x называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром 
>0, если она непрерывного типа
и ее плотность распределения задается формулой
f(x) = 
(10)
График функции приведен на Рис.11.
Рис. 11.
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
M (x) = 
, D (x)= 
3. Закон нормального распределения.
Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами а и 
>0, если плотность распределения вероятностей имеет вид
f(x) = 
, 
(11)
Для того, чтобы построить график этой функции, проведем ее исследование. Вычислим производную
.
При x < a 
> 0, следовательно на интервале 
функция возрастает, а при x > a < 0, - функция убывает. В точке x = a – функция имеет максимум.
|
|
|
График функции приведен на Рис.12.
Важное значение в прикладных задачах имеет частный случай плотности нормального распределения при a = 0 и =1
. (12) Функция (12) - четная, т.е. 
(-x) = (x).
Для значений этой функции имеются таблицы (Приложение 1).
Рис. 12
Вычислим математическое ожидание и дисперсию:
; 
; 
.
При вычислении интегралов использованы свойства:
1) 
= 0, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах;
2) 
=1, как интеграл от плотности нормального распределения с параметрами a = 0 и = 1 (свойство 2 функции плотности распределения).
Аналогично можно показать, что D (x) = 2. Параметры a и совпадают с основными характеристиками распределения. В дальнейшем, если плотность распределения случайной величины имеет вид (11),то для краткости будем записывать x ~ N (
).
Вероятность попадания случайной величины x в интервал 
вычисляется по формуле (13)
, (13)
где 
- функция Лапласа
, ( 14)
функция нормального распределения N(0,1),
д ля этой функции имеются таблицы (Приложение 2). Отметим, что
Ф(-x) = 1 - Ф(x) (15)
Пример 14. Коробки с шоколадом упаковывают автоматически.Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г. (вес коробок распределен нормально)?
Из условия задачи параметр а= 1,06, параметр -неизвестен.
Рассмотрим случайную величину x - масса коробок. Требуется определить
p (x > 0,94), т.е. p (x > 0,94) = p (0,94 < x < + ∞) 
Из таблицы Приложения 2 определим 
, по формуле (14) имеем
|
|
|
= 1- , тогда
p (0,94 < x < + ∞) 1-1+ = .
Параметр σ найдем из условия р (x < 1) = 0,5
т.е. 1- 
откуда получим 
) = 0,95.
По таблице Приложения 3 определим 
= 1,645, тогда из равенства
найдем значение 
. Окончательно получим
.
4. Распределение Парето
Распределение Парето используется при изучении распределения доходов, превышающих некоторый пороговый уровень x0.
f(x) = 
x0 < x < ∞, α > 0, х0 > 0 – параметры распределения.,
M(ξ)= 
, D(ξ)= 
.
