2015-06-10
876
1. Пусть E = {0, 1, 2,.., 10}, M =[0, 1]. Нечеткое множество “несколько” можно определить следующим образом: “несколько”= 0,5/3 È 0,8/4 È 1/5 È 1/6 È 0,8/7 È 0,5/8; его характеристики:высота= 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода – {3, 8}.
2. Пусть E = {1, 2, 3,..., 100} и соответствует понятию “возраст“, тогда нечеткое множество “молодой”, может быть определено с помощью функции принадлежности вида
В приведенных выше примерах использованы прямыеметоды, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m A (x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.
При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: “этот человек лысый” или “ этот человек не лысый”, тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).
|
|
|
Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m A (xi) = w i, i = 1, 2,..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {aij}, где aij = w i/ wj (операция деления).
На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij = 1 / aij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. Доказано [3], что в общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А w = lmaxw, где lmax – наибольшее собственное значение матрицы A. Имеет место теорема Перрона, согласно которой для матрицы А с положительными элементами решение данной задачи существует и является положительным.
В случае идеальной согласованности экспертных оценок должно выполняться соотношение 
. (1)
В этом случае lmax совпадает с n – размерностью матрицы
А. В случае нарушения условия (1) lmax меньше n. Таким образом, величина разности lmax – n может служить мерой согласованности экспертных оценок.
Для вычисления lmax можно рекомендовать метод скалярных произведений. Метод основан на следующем соотношении:
|
|
|
,
при произвольном векторе у0. Для вычислений удобнее строить две последовательности векторов: уk = Аkу0 и zk = (АT)kу0. Тогда
.
Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) > mB(x). Обозначение: A Ì B.
Равенство. A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB(x). Обозначение: A = B.
Дополнение. Пусть M = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
"xÎE mA(x) = 1 – mB(x). Обозначение: B = 
или A = 
. Очевидно, что 
. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, его можно определить для любого упорядоченного M).
Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B;
m A Ç B (x) = min{mA(x), mB(x)}.
Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности
m AÈ B (x) = max {(mA(x), mB(x)}.
Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности:
mA\B(x) = min { mA(x), 1 – mB(x)}.
Например.
Пусть: A = 0,4/ x1 È 0,2/ x2 È 0/ x3 È 1/ x4;
B = 0,7/ x1 È 0,9/ x2 È 0,1/ x3 È1/ x4;
C = 0,1/ x1 È 1/ x2 È 0,2/ x3 È 0,9/ x4.
Здесь:
1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.
2. A ¹ B ¹ C.
3. = 0,6/ x1 È 0,8/ x2 È 1/ x3 È 0/ x4;
= 0,3/ x1 È 0,1/ x2 È 0,9/ x3 È 0/ x4.
