Отображения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X определено отображение f, принимающее значения из Y (f: X® Y), если каждому элементу x из X ставится в соответствие единственный элемент y = f(x) из Y.

Множество элементов xÎX, для которых определено отображение f, называется областью определения f и обозначается d_f.

Если имеется какой-либо элемент хÎX, то соответствующий ему элемент yÎY будем называть образом x. Пусть A – некоторое подмножество множества X (AÍX), образ множества A определяется как множество образов элементов множества A и обозначается f(A), т.е. f(A) = {f(x) | xÎA}. Образ области определения называется областью значений отображения f и обозначается r_f (т.е. r_f = f(d_f) = f(X)).

Если задать yÎY, то множество соответствующих ему x, т.е. таких, что y = f(x), будем называть прообразом y и обозначать f ^-1(y), f ^-1(y) = {xÎX | y = f(x)}. В общем случае обратное отображение f ^-1 неоднозначно. Пусть B – некоторое подмножество множества Y (BÍY), прообраз множества B определяется как множество прообразов элементов множества B и обозначается f ^-1(B), т.е. f ^-1(B) = { xÎA | f(x)=y, y Î B}.

Отображение i: X ® X такое, что i(x) = x для любого xÎX называется тождественным отображением.

Пусть f: X ® Y и g: Y ® Z. Отображение h: X ® Z, такое, что каждому элементу xÎX ставится в соответствие единственный элемент h(x) = g(f(x)), называется композицией (или суперпозицией) отображений f и g и обозначается g о f.

Отображение f: X ® Y называется сюръекцией X на Y, если множество образов всех элементов из X совпадают с множеством Y. Это обозначается как f(X) = Y. Другое эквивалентное определение сюръекции – это отображение, при котором каждый элемент из Y имеет прообраз в множестве X.

Если для любых x₁, x₂ÎX таких, что x₁ ¹ x₂, получается, что f(x₁) ¹ f(x₂), т.е. разным элементам соответствуют различные образы, то это отображение f называется инъекцией.

Отображение f, которое является одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением.

Если между А и В установлено биективное отображение, то говорят, что множества А и В эквивалентны. Эквивалентность множеств обозначается A ~ B.

Легко видеть, что эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Признаки эквивалентности множеств дают следующие

ТЕОРЕМЫ Кантора-Бернштейна.

1. Если A Í B Í C, причем A ~ C, то A ~ B.

2. Если A эквивалентно подмножеству множества B, а B эквивалентно подмножеству множества A, то A ~ B.

Задача 1. Доказать, что f(A) Í B Û A Í f ^-1(B).

Решение.

1) Пусть f(A)ÍB и xÎA. Тогда f(x)Îf(A), а в силу f(A)ÍB справедливо f(x)ÎB, что означает xÎf ^-1(B). Следовательно, AÍ Íf ^-1(B).

2) Докажем, что f(A)ÍB при условии AÍf ^-1(B). Пусть yÎf(A), это значит, что y=f(x), где xÎA. Из включения AÍf ^-1(B) следует, что xÎf ^-1(B). Тогда y=f(x)Îf(f ^-1(B)) = B. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Можно ли построить сюръективное отображение вида

множества целых чисел на множество рациональных чисел, где коэффициенты a₀, a₁,..., a_т, b₀, b₁,..., b_ь - целые числа?

Решение.

Такое отображение построить нельзя. Любая функция f(x), представимая в виде частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел при x®¥. Если f(x) = q < ¥, то существует такое N, что для всех k, таких, что |k|>N, выполнены неравенства q-1< f(x)< q+1. Если отображение f является сюръекцией, то конечное множество целых чисел k: |k| £ N отображается на бесконечное множество рациональных чисел r, лежащих в множестве (- ¥,q-1]È[q+1,+¥), что невозможно. Следовательно, не для каждого рационального r существует прообраз в множестве целых чисел.

Если f(x) = ¥, то рассуждения аналогичны (в этом случае конечное множество целых чисел k, таких, что |k| £ N, отображалось бы на множество рациональных чисел отрезка [-A, A], что невозможно. Следовательно, это отображение также не является сюръективным.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Доказать теоремы 2, 3 для бесконечного числа множеств.

2. Доказать, что для любого отображения f выполняется включение f(A Ç B) Í f(A) Ç f(B), а равенство будет только

тогда, когда f является биекцией.

3. Пусть A – произвольное множество из области определения отображения f. Верно ли равенство f ^-1(f(A)) = A?

4. Пусть B – произвольное множество из области значений отображения f. Верно ли равенство f(f ^-1(B)) = B?

Доказать тождества 5, 6.

5. f ^-1(A \ B) = f ^-1(A) \ f ^-1(B).

6. f(A) Ç B = f(A Ç f ^-1(B)).

7. Верно ли равенство f(A \ B) = f(A) \ f(B)? Если нет, то в какую сторону имеет место включение? При каких условиях выполняется тождество?

8. Доказать, что для любой функции f:

а) A Í B Þ f ^-1(A) Í f ^-1(B);

б) A Í B Þ f(A) Í f(B);

в) f(A) = Æ Û A Ç d_а = Æ;

г) f ^-1(A) = Æ Û A Ç r_а = Æ.

9. Пусть j: A ® B – взаимно однозначное соответствие. Доказать, что:

а) j ^-1 – взаимно однозначное соответствие между B и A;

б) j ^-1 o j = i; в) j o j ^-1 = i.

10. Доказать, что объединение (пересечение) двух отображений f₁ и f₂ из A в B является отображением из A в B тогда и только тогда, когда f₁ = f₂.

11. Доказать, что:

а) f(A) Ç B = Æ Û A Ç f ^-1(B) = Æ;

б) f(A) Í B Û A Í f ^-1(B).

12. Пусть f: X ® Y, g: Y ® Z, h = g o f и B Í Z. Тогда h ^-1(B) = f ^-1(g ^-1(B)).