2015-06-10
593
Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, связанных ременной передачей, зубчатой рейки 3 и груза 4, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 - К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1- r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 - r2 = 6 см, R2 = 8 см. На ободьях колес расположены точки А и В.
В столбце “Дано” таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где j1(t) - закон вращения колеса 1, s3(t) - закон движения рейки 3, w2(t) - закон изменения угловой скорости колеса 2, v4(t) - закон изменения скорости груза 4 и т.д. (везде j выражено в радианах, s - в сантиметрах, t - в секундах). Положительное направление для j и w - против хода часовой стрелки, для s3, s4 и v3, v4 - вниз.
Определить в момент времени t1 = 2 c указанные в таблице в столбцах “Найти” скорости (v - линейные, w - угловые) и ускорения (а- линейные, e - угловые) соответствующих точек или тел (v4 - скорость груза 4 и т.д.).
Указания. Задача К2 - на исследование вращательного движения
|
|
|
Таблица К2
| Номер | Дано | Найти | |
| условия | скорости | ускорения | |
| s4 = 4(7t - t2) | vA, vB | e1, aA, a3 | |
| v4 = 2(t2 - 3) | vA, vB | e2, aB, a3 | |
| j1 = 2t2 - 9 | v3, w1 | e2, aB, a4 | |
| w2 = 7t - 3t2 | v4, w1 | e2, aB, a4 | |
| j2 = 3t - t2 | v3, w2 | e2, aA, a4 | |
| w1 = 5t - 2t2 | v4, vA | e2, aB, a3 | |
| j1 = 2(t2 - 3t) | v3, w2 | e2, aB, a4 | |
| V3 = 3t2 - 8 | vB, w1 | e1, aA, a4 | |
| s4 = 2t2 - 5t | v3, w1 | e1, aB, a3 | |
| w1 = 8t - 3t2 | v4, vA | e1, aB, a3 |
твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.
Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2 и колесо 3 радиуса R3, скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=f(t).
Дано: R2=6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, s1=3t3 (s - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка обода колеса 3, t1=3 c.
Определить: w3, v4, e3, aA , в момент времени t=t1.
 |
Рис.К2
Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Ri), через vi, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ri), - через ui.
Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:
v1 = 
= 9t2. (1)
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v2=v1 или w2R2=v1. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u2=v3 или w2r2=w3R3. Из этих равенств находим
|
|
|
, 
. (2)
Тогда для момента времени t1=3 c получим w3=6,75 c-1.
Определяем v4. Так как v4=vB=w3r3, то при t1=3 c v4=20,25 см/c.
Определяем e3. Учитывая второе из равенств (2), получим
e3= 
= 1,5t. Тогда при t1=3 c e3=4,5c-2.
Определяем a A. Для точки А 
, где численно at A= R3e3, anA =R3w32. Тогда для момента времени t1=3 c имеем
at A= 36 см/c2, anA = 364 см/c2; 
=366 см/c2.
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.К2.
