Решение. 1. Составим экономико-математическую модель задачи

1. Составим экономико-математическую модель задачи.

Введем обозначения:

x ₁ – число женских костюмов;

x ₂ – число мужских костюмов.

Составим целевую функцию, значением которой является прибыль:

.

Зададим ограничения по ресурсам:

2. Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.

Сначала построим область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид . Решением этого линейного неравенства является полуплоскость, ограниченная прямой . Прямая проходит через точки (0;100) и (350;0).

Второе ограничение (по лавсану) имеет вид . Решением этого линейного неравенства является полуплоскость, ограниченная прямой . Прямая проходит через точки (0;480) и (120;0).

Третье ограничение (по человеко-дням трудозатрат) имеет вид . Решением этого линейного неравенства является полуплоскость, ограниченная прямой . Прямая проходит через точки (0;150) и (150;0).

На рис. 1 заштрихована область допустимых решений данной задачи, полученная в результате пересечения построенных полуплоскостей. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем ограничениям, а для любой точки вне ее хотя бы одно неравенство будет нарушено.

Рис. 1. Точка (70,80) – оптимальное решение задачи

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент целевой функции Ñ=(10,20). Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10;20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, коллинеарный вектору Ñ. На рис. 1 изображен вектор (30,60).

Перпендикулярно вектору-градиенту проведем прямую (линию уровня) . Для этого приравняем целевую функцию постоянной величине а. Если изменять значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Далее будем передвигать линию уровня до ее выхода из ОДР. При максимизации целевой функции линию уровня следует двигать в направлении, вектора-градиента. В крайней точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки решим систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума:

Получаем , . При этих значениях

.

Ответ. Для получения максимальной прибыли необходимо сшить 70 женских костюмов и 80 мужских костюмов. При таком плане прибыль составит 2300 денежных единиц

3. Приведем также решение этой задачи с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (рис.2).

Рис. 2. Решение задачи о костюмах с помощью надстройки Поиск решения

Опишем кратко шаги решения задачи.

Вводим исходные данные:

в ячейки A4:B4 – коэффициенты целевой функции;

в ячейки A6:B6 – коэффициенты левой части ограничения по шерсти;

в ячейки A7:B7 – коэффициенты левой части ограничения по лавсану;

в ячейки A8:B8 – коэффициенты левой части ограничения по труду;

в ячейки E6:E9 – правые части ограничений.

Вводим зависимость для целевой функции:

в ячейку C4 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(A4:B4;A3:B3).

Функцию СУММПРОИЗВ (массив1;массив2;массив;…) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, вызвав категорию Математические.

Вводим зависимости для ограничений:

в ячейку C4 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(A6:B6;A$3:B$3).

Копируем эту формулу в ячейки C7:C9.

Вызываем надстройку командой меню Сервис – Поиск решения:

устанавливаем целевую ячейку, отмечаем «максимальному значению», заполняем поле Изменяя значения и поле Ограничения. Даем команду Выполнить.

Примечание. Более подробно технология решения этой задачи описана в учебном пособии [3, с. 95-105] и практическом пособии [4, с. 18-27].