Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Z - преобразования функций времени




x(t) X(s) x[nT] X(z) X(z,s)
d(t) d[nT] -
1(t) 1/s 1[nT] z/(z-1) z/(z-1)
t 1/s2 nT Tz/(z-1)2 Tz/(z-1)2+ + +Tsz/(z-1)
1/(s+a) z/(z-d) (d= ) . . .
  t2/2!   1/s3   (nT)2/2! . . .
1/(s+a)2 (d= ) . . .
  1/(s+a)3 (d= ) . . .

Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы [2, 15, 17], фрагмент такой таблицы приведен выше. Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако, семейство модифицированных z-преобразований решетчатой функции для всех s от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

Свойства z-преобразования изложены в [2], поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

1. Свойство линейности. Если F1(z,s)=Zs {f1(t)} и F2(z,s)=Zs {f2(t)}, то

Zs {a1f1(t) + a2f2(t)}= a1 F1(z,s) + a2 F2(z,s). (1.31)

2. Теорема сдвига (смещения). Если Zs {f(t)} = F(z,s) и t - произвольное положительное число, тогда

(1.32)

где , m - целая, - дробная часть числа t/T;

если t = mT, тогда

Zs {f(t-mT)}=z-mF(z,s). (1.33)

3. Изображение обратных разностей

Z{Ñkf[nT]}= (1 - z-1)kF(z). (1.34)

4. Изображение конечных сумм:

полных , (1.35)

неполных . (1.36)

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

, (1.37)

начальное значение функции оригинала:

. (1.38)

6. Свертка функций. Если F1(z) = Z{f1(t)} и F2(z) = Z{f2(t)}, то

(1.39)

и

(1.40)

7. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:

(1.41)

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y[nT] импульсной системы с ее входным воздействием f[nT], имеет следующий вид:

a0y[n]+a1y[n-1]+...+amy[n-m] = b0f[n]+b1f[n-1]+...+blf[n-l], (1.42)

при m ³ l и y[n] º 0, f[n] º 0 для всех n < 0.

Подвергнув исходное уравнение z-преобразованию, получим

a0Y(z)+a1 z-1Y(z)+...+am z-mY(z) = b0F(z)+b1 z-1F(z)+...+bl z-lF(z),

которое можно переписать в виде

A(z)Y(z)=B(z)F(z), (1.43)




где полиномы

и . (1.44)

Из (1.43) находим изображение выходной координаты

Y(z)=W(z)F(z), (1.45)

где . (1.46)

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Данная запись отличается от передаточной функции для непрерывных систем тем, что переменная z в полиномах имеет отрицательные степени. Для того, чтобы была полная аналогия с передаточными функциями непрерывных систем, степень переменной z делают положительной путем домножения числителя и знаменателя выражения (1.46) на zm . Тогда получим формулу, которая полностью аналогична записи для непрерывной функции

. (1.47)

Задача получения разностного уравнения по дискретной передаточной функции решается в обратной последовательности.

Пример.Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f[nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией

.

Решение. Домножим числитель и знаменатель W(z) на z-2. В результате получим

.

На основании последнего выражения разностное уравнение будет

a0y[n] + a1y[n-1] + a2y[n-2] = b1f[n-1] + b2f[n-2].

Его решение при нулевых начальных условиях y[n] º 0, f[n] º 0 для всех n < 0:

y[n] = [1/a0]´{b1f[n-1] + b2f[n-2] - a1y[n-1] - a2y[n-2]}.

Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Структурная схема импульсной системы

Комплексный спектр решетчатой функции времени.Комплексный спектр решетчатой функции времени f[n,s] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного w, определяемую следующим выражением:



при -¥ < w < ¥ . (1.48)

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену z = ejwT, откуда следует, что функция z является периодической функцией w с периодом, равным 2p/T. По этой причине комплексный спектр решетчатой функции также является периодической функцией w того же самого периода:

(1.49)

и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений w, длина которого равна 2p/T. В качестве такого интервала принят интервал

(1.50)

Подобно любой комплексной функции спектр (1.48) может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:

F(ejwT,s) = А(w, s)´ejy(w, s) = U(w, s) + jV(w, s), (1.51)

где A(w, s), y(w, s), U(w, s), V(w, s) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции f[n,s]. При фиксированном значении w спектр (1.51) изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении w от -p/T до +p/T, конец вектора F(ejwT,s) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.





Дата добавления: 2015-06-04; просмотров: 841; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше... 8691 - | 7119 - или читать все...

Читайте также:

 

54.243.26.210 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.005 сек.