2015-06-10
1045
Методику решения задач теории статистических решений рассмотрим на примере задачи о целесообразности местного поиска. Местный поиск применяется для уточнения промысловых запасов рыбы в данном районе обычными промысловыми судами по принципу «поиск на себя». При этом решаются частные задачи:
Ø выбор места поиска;
Ø определение порядка поиска;
Ø выбор способов использования поисковых приборов;
Ø расшифровка показаний приборов и их проверка с использованием орудий лова;
Ø расчет количества судов для поиска и длительности поиска.
Однако, решение этих задач, становится актуальным, когда определено, что местный поиск целесообразен, выгоден. Учитывая особенности поиска рыбы с помощью приборов и пробных уловов, задача о целесообразности местного поиска решается, когда:
1. Имеемая добыча рыбы не гарантирует выполнения плановых заданий, а возможности перехода в другие районы ограничена.
2. Появляются признаки увеличения добычи рыбы по сравнению с имеемой.
3. Руководство промысла решает вопрос об увеличении вылова всем флотом.
4. Судно не имеет возможности вести добычу рыбы, но может заниматься поиском.
В этой ситуации учитываются следующие показатели работы:
Т – время неизменности промысловой обстановки, т.е. время в течение которого будет вестись добыча новых уловов, если они есть в районе или сохранятся старые уловы при неуспешном поиске
а – средний улов в единицу времени при существующей обстановке без обнаружения больших уловов
а’ – средние уловы, если обнаружены новые или лучшие скопления рыбы, т.е. при успешном поиске
р – вероятность успешного поиска, т.е. вероятность наличия лучших скоплений в районе и успешного их обнаружения за время tп
tп – время поиска для успешного обнаружения лучших скоплений.
Действие судна: S1 - продолжать работу без поиска, S2 - поиск длительностью tп и дальнейшие действия с учетом результатов поиска.
Действие природы: q1 – в районе поиска есть лучшие скопления дающие хорошие уловы, q2 – нет лучших скоплений.
С математической точки зрения задача выбора действий при двух состояниях природы называется задачей проверки гипотез, ее решение выполняется в следующем порядке:
1. Составляется матрица добычи, т.е. уловов за время Т при соответствующих действиях рыбака и природы.
| р П | S1 | S2 |
| q1 | аТ | (Т- tп)* а’ |
| q2 | аТ | (Т- tп)* а |
2. Переводим матрицу добычи в матрицу сожалений. в данной задаче это недоловы, которые будут иметь судно, если выберет способ действия не соответствующие состоянию природы. При этом учтем, что задача о поиске имеет смысл, если а’> а; tп<<Т.
Поэтому матрица недолова будет иметь вид:
| р П | S1 | S2 |
| q1 | (Т- tп)* а’-аТ | |
| q2 | (-(Т- tп)* а+аТ)=аtп |
3. Для выбора лучшего действия определяют риски при сожалениях. Риски - это потери стороны действующей определенным образом с учетом вероятности состояния природы. В рассматриваемой задаче q1 имеет вероятность Р, а состояние q2 имеет вероятность 1-Р.
В итоге риск при действии S1:
W1=[(T-tп)*а¢-аТ]*Р+0(1-Р) (4.2.1)
риск при действии S2:
W2= 0 *Р+аtп(1-Р)= аtп(1-Р) (4.2.2)
Лучшее действие – риски которых меньше.
Поэтому целесообразность местного поиска в виде действия S2 предпочтительна, если
(4.2.3)
Величина W характеризует относительное предпочтение действий S2 перед S1.
В реальных условиях капитан судна может принять решение о целесообразности местного поиска при W=1,5-2,0, если он азартный человек. Осторожный капитан может принимать решение при W>10 единиц.
Определив по опыту при каких значениях W в данном районе местный поиск целесообразен, можно решить задачи о min допустимых величинных промысловой обстановки, при которых местный поиск целесообразен с заданными значениями W.
(4.2.4.)
(4.2.5.)
(4.2.6.)
(4.2.7.)
Pд – вероятность обнаружения лучших скоплений допустимая
(4.2.8.)
(4.2.9.)
DG – среднее величина добычи за время Т при работе с поиском
Рассмотрим конкретный числовой пример.
Исходные данные: Найти:
Т=3 суток; W-? - целесообразность
а=20 т/сут; местного поиска.
а‘=40 т/сут;
tn=0,5 суток;
Р=0,6
Матрица добычи:
| Природа/Рыбак | S1 | S2 |
| Q1 | T*a | (T-tn)*a/ |
| Q2 | T*a | (T-tn)*a |
| Природа/Рыбак | S1 | S2 |
| Q1 | ||
| Q2 |
Переводим матрицу добычи в матрицу недоловов (матрица сожалений). Сожалением называются потери, которые имеет судно, если выбран способ действий несоответствующий состоянию природы. Для получения матрицы сожалений надо построчно из каждого числа вычесть большее из них и взять абсолютные значения полученных величин.
Матрица сожаления:
| Природа/Рыбак | S1 | S2 | P |
| Q1 | P=0,6 | ||
| Q2 | 1-Р=0,4 |
Для выбора лучшего действия определяем риски при сожалениях:
Риск действия S1:
(4.2.10)
Риск действия S2:
(4.2.11)
Лучшим является действие риск которого меньше, то есть: действие S2.
Целесообразность местного поиска:
(4.2.12)
W=6>1, следовательно поиск целесообразен
В зависимости от условий работы, опыта экипажа и деловых качеств капитана, вопрос о целесообразности местного поиска может решаться при различных значениях W. При данном значении W=6 капитана судна можно считать осторожным капитаном.
При заданном значении W можно решать частные задачи поиска. Покажем это на нижеприведенном примере, когда задается W1 и W2, а надо найти tnдоп, а¢min, РД или DG.
| Исходные данные | Допустимые данные | W1=2,0 | W2=4,0 |
| Т=3 суток | Тдоп | 1,7 | 2,3 |
| а=20т/сут | адоп | 23,0 | 27,3 |
| а¢=40т/сут | а¢min= | 29,3 | 34,6 |
| tn=0,5 суток | tnдоп= | 0,9 | 0,64 |
| Р=0,6 | Pдоп= | 0,33 | 0,5 |
| DG= |
4.3.Расчет целесообразности в другой район промысла.
При изменяющейся промысловой обстановке выбор решения о переходе из одного района промысла в другой должен учитывать возможные уловы, как в районе, где находится судно, так и районе, куда оно переходит.
Обозначим:
А – где находится судно с возможными уловами.
а- =1 т/ч
а =3 т/ч
а+ =4 т/ч
n=8 тралений по 2 часа
В – район возможного перехода с уловами
b - =1 т/ч
b =3 т/ч
b+ =6 т/ч
n=6 тралений по 2 часа
Матрица возможных вариантов обстановки будет иметь вид:
| b а | b - | b | b+ |
| а- | |||
| а | |||
| а+ |
Матрица добычи составляется для 2-х возможных действий:
SA – вести промысел в районе А
SB – переход в район В
| Природа Рыбак | |||||||||
| SA | |||||||||
| SB |
Составляем матрицу сожалений, в которой указываем недоловы или потери лица принимающего решение при действиях, не отвечающих обстановке:
| Природа Рыбак | max | |||||||||
| SA | ||||||||||
| SB |
При отсутствии вероятностей состояния природы приближенное решение можно выбрать по min из max сожалений, предпочитая самый осторожный способ действия.
Это критерий min-max сожалений.
В нашем случае из 2х max сожалений (56 и 52) меньшим является сожаление при переходе в район В. Однако разница этих сожалений настолько мала, что принимать решение о переходе преждевременно.
В таких ситуациях опытные промысловики рекомендуют проявлять промысловую выдержку, т.е. продолжать промысел на старом месте, до получения новой информации об уловах. Эта информация покажет тенденции изменения промысловой обстановки.
Если после очередных тралений получена информация о средних уловах в районе А 3 т/ч, а в районе В возрастание улова до 5 т/ч, то можно высказать следующее соображение о промысловой обстановке.
Учитывая плавные, а не скачкообразное изменение условий промысла, а также относительную правдивость сообщений об уловах, можно считать, что в районе В обстановка по крайней мере не ухудшается.
Это значит, что из рассмотрения можно убрать варианты обстановки 1,4 и 7, где b-.
Вновь составляем матрицы добычи и сожалений подсчитать их для судна, которое решило начать переход в район В, не дожидаясь первых тралений – это действие SB – переход в район В.
SB1 – одно траление в район А и переход в район В.
| Природа Рыбак | |||||||||
| SA | |||||||||
| SB | |||||||||
| SB1 |
Матрица сожалений
| Природа Рыбак | max | |||||||||
| SA | ||||||||||
| SB | ||||||||||
| SB1 |
Сожаление оставаться в районе А велики и лучшим является действие SB1 и SB.
Можно продолжить решение задачи применяя действие SB2 переход в район В после 2-х тралений, надеясь на более резкое проявление тенденции изменения промысловой обстановки.
Если очередные траления дали средний улов района А за час 3,5 тонны, а в районе В 6,5 т/ч, то можно оставить лишь варианты обстановки 3, 6, 9. Расчет матрицы сожалений для таких ситуаций покажет
| Природа Рыбак | max | |||||||||
| SA | ||||||||||
| SB1 | ||||||||||
| SB2 | ||||||||||
| SB |
Таким образом в связи с постоянным улучшением обстановки в районе В лучшим действием был немедленный переход SB, вариант SB1 переход после одного траления в районе А также дает небольшие сожаления, переход после 2-х тралений в SB2 немного увеличивает сожаления, но намного лучше действий SА.
Эту же задачу можно решать математически строго с привлечением законов распределения уловов и теории вероятности. При таком подходе предполагаются непрерывные изменения промысловой обстановки и подчинение нормальному закону распределения случайных величин - уловов за траление. Для строгого решения необходимо знать функции плотности распределения вероятности fA(a) и fB(в).
Характеристики функции вероятности можно получить по сообщениям о величине улова за час траления, коэффициентам корреляции для сравнения уловов различных типов судов.
Исходные данные обрабатываются статистическим путем расчета вероятнейшего значения измеренных величин, а также их СКП. Путем построения кривых функции плотности вероятности можно определять вероятности получения уловов в пределах некоторого интервала.
Для уточнения вероятностей используется расчет их апостериорных значений по формуле Бейеса. Методами теории статистических решений можно также решать задачу выбора района промысла с учетом ограниченных емкостей готовой продукции.
Например:
Остаток промыслового времени 15 суток, план вылова 200 тонн, свободные емкости 400 тонн, суточная добыча в районе А 25 тонн, в районе В средний вылов 50 тонн за сутки; с возможным колебанием до 18 тонн за сутки в районе А и возможным колебанием 30-60 тонн в районе В.
Матрица вариантов
| В А | |||
Действия: возможность ловить 15 суток в районе А (SА) без перехода и 12 суток в районе В (SB).
Решение задачи о лучшем способе действия в этих условиях выполнить самостоятельно методами теории статистических решений.
Вопросы для самопроверки
1. Отличие теории статистических решений от теории игр.
2. Расчеты вероятностей состояния природы.
3. Постановка задачи о целесообразности местного поиска.
4. Матрица добычи и матрица сожалений в задаче о целесообразности местного поиска.
5. Расчеты рисков и показателя целесообразности поиска.
6. Расчеты допустимых значений параметров поиска.
7. Определение целесообразности перехода в новый район.
8. Критерий min-max сожалений.
9. Расчеты перехода с учетом промысловой выдержки.
