Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

Обратной матрицей к матрице A называется матрица A ^-1, для которой выполнено соотношение:

A A ^-1 = E, (3.18)

где E - единичная матрица:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

E = 0 0 1 … 0. (3.19)

0 0 0 … 1

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть A - квадратная невырожденная матрица порядка n:

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ … a _{1 n}

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ … a _{2 n}

A = a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃ … a _{3 n}

a_{n 1} a_{n 2} a_{n 3} … a_nn

и A ^-1 - ее обратная матрица:

x ₁₁ x ₁₂ x ₁₃ … x _{1 n}

x ₂₁ x ₂₂ x ₂₃ … x _{2 n}

A ^-1= x ₃₁ x ₃₂ x ₃₃ … x _{3 n}

x_{n 1} x_{n 2} x_{n 3} … x_nn

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n ² уравнений с n ² переменными x_ij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A ^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a ₁₁ x ₁₁ + a ₁₂ x ₂₁ + a ₁₃ x ₃₁ + … + a _{1 n} x_{n 1} = 1

a ₂₁ x ₁₁ + a ₂₂ x ₂₁ + a ₂₃ x ₃₁ + … + a _{2 n} x_{n 1} = 0

a ₃₁ x ₁₁ + a ₃₂ x ₂₁ + a ₃₃ x ₃₁ + … + a _{3 n} x_{n 1} = 0 (3.20)

a_{n 1} x ₁₁ + a_{n 2} x ₂₁ + a_{n 3} x ₃₁ + … + a_nnx_{n 1} = 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A ^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a ₁₁ x ₁₂ + a ₁₂ x ₂₂ + a ₁₃ x ₃₂ + … + a _{1 n} x_{n 2} = 0

a ₂₁ x ₁₂ + a ₂₂ x ₂₂ + a ₂₃ x ₃₂ + … + a _{2 n} x_{n 2} = 1

a ₃₁ x ₁₂ + a ₃₂ x ₂₂ + a ₃₃ x ₃₂ + … + a _{3 n} x_{n 2} = 0(3.21)

a_{n 1} x ₁₂ + a_{n 2} x ₂₂ + a_{n 3} x ₃₂ + … + a_nnx_{n 2} = 0

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Вычислим обратную матрицу A ^-1 для матрицы

A = 1.8 -3.8 0.7 -3.7

0.7 2.1 -2.6 -2.8

7.3 8.1 1.7 -4.9

1.9 -4.3 -4.3 -4.7

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

1.8 -3.8 0.7 -3.7

0 3.57778 -2.87222 -1.36111

0 0 17.73577 19.04992

0 0 0 5.40155

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

1 0 0 0

0 1 0 0

0, 0, 1, 0

0 0 0 1

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A ^-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A ^-1:

-0.21121 -0.46003 0.16248 0.26956

-0.03533 0.16873 0.01573 -0.08920

0.23030 0.04607 -0.00944 -0.19885.

-0.29316 -0.38837 0.06128 0.18513