2015-06-04
778
Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной диагонали a равен нулю. Если элемент a мал, то велики ошибки округления при делении на этот элемент. Для уменьшения ошибок округления применяют метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Прямой ход так же, как и для схемы единственного деления, состоит из n - 1 шагов. На первом шаге прежде, чем исключать переменную x 1, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент ai 1, i = 1, 2, …, n. В дальнейшем, на k -м шаге, прежде, чем исключать переменную xk, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент aik, i = k, k + 1, …, n. После этой перестановки исключение переменной xk производят, как в схеме единственного деления.
Трудоемкость метода. Дополнительные действия по выбору главных элементов требуют примерно n 2 операций, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.
|
|
|
Пример 3.2.
Применим метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу для решения системы уравнений (3.10) из примера 3.1. Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент a 11 = 2.0 наибольший из коэффициентов первого столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый шаг полностью совпадает с 1-ым шагом примера 3.1. Из второго, третьего и четвертого уравнений исключается переменная x 1 и система приводится к виду (3.11).
2-ой шаг. Наибольший по модулю коэффициент при x 2 в системе (3.11) a = -1.15. Поэтому переставим уравнения следующим образом:
2.0 x 1 + 1.0 x 2- 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
-1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = -4.305 (3.14)
0.3 x 2 + 4.02 x 3- 8.70 x 4 = 21.36
-0.30 x 2 + 2.55 x 3-1.50 x 4 = 8.55
Вычислим множители:
m = = = -0.26087 m = = = 0.26087.
Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.14) второе уравнение, умноженное соответственно на m и m, приходим к системе:
2.0 x 1 + 1.0 x 2- 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
-1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = -4.305 (3.15)
4.28478 x 3- 7.38261 x 4 = 20.23696
2.28522 x 3-2.81739 x 4 = 9.67305
3-ий шаг. Вычислим множитель:
m = = = 0.53333.
Вычитая из четвертого уравнения системы (3.15) третье, умноженное на m, приведем систему к треугольному виду:
2.0 x 1 + 1.0 x 2- 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
-1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = -4.305 (3.16)
4.28478 x 3- 7.38261 x 4 = 20.23696
1.11998 x 4 = -1.11998
Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:
x 1= 1.000, x 2 = 2.000, x 3= 3.000, x 4 = - 1.000.
