2015-06-04
459
Заменим график функции y = f (x) на отрезке [ xi, xi+ 1], i = 0, 2, …, n - 1, параболой, проведенной через точки (xi, f (xi)), (x,f (x)), (xi+ 1, f (xi+ 1)), где x - середина отрезка [ xi, xi+ 1]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L 2(x) с узлами xi, x, xi+ 1. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:
y = L 2(x) =
f (x) + (x - x) + (x - x)2, (5.9)
где h =.
Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [ xi, xi+ 1], получим
Ii = = (f (xi) + 4 f (x) + f (xi+ 1)). (5.10)
Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, …, n - 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):
I = I С = (f (x 0) + f (xn) + 4 + 2). (5.11)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [ a, b ] непрерывную производную четвертого порядка f (4)(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:
| I - I С | h 4, (5.12)
где M 4 = | f (4)(x)|.
Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [ a, b ], четно, т.е. n = 2 m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [ xi, xi+ 1] длины h рассматривать отрезок [ x 2 i , x 2 i+ 2] длины 2 h. Тогда формула Симпсона примет вид:
|
|
|
I (f (x 0) + f (x 2 m ) + 4 + 2), (5.13)
а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:
| I - I С | h 4, (5.14)
Пример 5.3.
Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.
Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11), получим:
I С = 0.74682418.
Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4)(x).
f (4)(x) = (16 x 4 - 48 x 2 + 12) e, | f (4)(x)| 12.
Поэтому
| I - I С | (0.1)4 0.42 10-6.
Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.
