Лекция 14 Тема: Численное интегрирование функций одной переменной

Постановка задачи численного интегрирования

Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона - Лейбница:

I = = F (b) - F (a), (5.1)

где F (x) - первообразная функции f (x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл. Но даже в тех случаях, когда удается выразить первообразную функцию F (x) через элементарные функции, она может оказаться очень сложной для вычислений. Кроме того, точное значение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить, если функция f (x) задается таблицей. В этих случаях обращаются к методам численного интегрирования.

Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f (x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f (x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко используют квадратурные формулы:

, (5.2)

где x_i - некоторые точки на отрезке [ a, b ],называемые узлами квадратурной формулы, A_i - числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, n 0 - целое число.