Правило Рунге практической оценки погрешности

Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

I - I^h Ch^k, (5.15)

где I^h приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C 0 и k > 0 - величины, не зависящие от h.

Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:

I - I^h/ ² Ch^k (I - I^h). (5.16)

Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки.

Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):

I^h/ ² - I^hCh^k (2 ^k - 1). (5.17)

Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:

I - I^h/ ². (5.18)

Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге - это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами h.

Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:

I - I _пр, (5.19)

I - I _тр, (5.20)

I - I _С. (5.21)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I. Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на.

Пример 5.4.

Найдем значение интеграла с точностью = 10^-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I при h ₁= 0.1, I^h =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h ₂ = 0.05 и вычислим I = 0.74667084, ₂= (I- I) = (0.74667084 - 0.74621079) 1.510^-4. Так как |₂| >, то снова дробим шаг: h ₃ = 0.025, вычисляем I = 0.74678581, ₂= (I- I) = (0.74678581 - 0.74667084) 410^-5. Поскольку |₃| <, требуемая точность достигнута и I 0.7468 0.0001.