Понятие «случайного события»

Основным и важным понятием, науки теории вероятности является термин «случайного события».

Случайным событием (или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

Операции над событиями можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна на рис.1:

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

▪ А+В=В+А, А∙В=В∙А (переместительное);

▪ (А+В)∙С=А∙С+В∙С, А∙В+С=(А+С)∙(В+С) ( распределительное);

▪ (А+В)+С=А+(В+С), (А∙В)∙С=А∙(В∙С) (сочетательное);

▪ А + А = А, А ∙ А = А;

▪ А + Ω = Ω, А ∙ Ω = А;

- 3 -

▪ А + = Ω, А ∙ = Æ;

▪ = Ω, Ω = Æ, = А;

▪ А - В = А ∙ ;

▪ = ∙ и = + — законы де Моргана.

Например, рассмотрим опыт: бросание игральной кости; событие А — выпадение 5 очков, событие В — выпадение четного числа очков, событие D — выпадение целого числа очков, событие Е — выпадение не менее 3-х очков. Эти события будут состоять из следующих из элементов В ={2, 4, 6}, Е ={3, 4, 5, 6}, А ={5}, D ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Тогда: В + Е = {2, 3, 4, 5, 6}, B ∙ E = {4, 6}, В - Е ={2}. Противоположным событию A будет событие состоящее из следующих элементов = {1, 2, 3, 4, 6}, событию В Í D, так как D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то есть D= Ω.

Пример. Доказать формулу А + В = А + В.

Решение. Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем: А+В = (А + В) ∙ Ω = А∙Ω + В∙Ω= A∙Ω + B∙ (A+ ) = А∙Ω + (А+ ) ∙В = A∙Ω + A∙B + ∙B = (Ω + B) ∙A + ∙B = Ω∙A + ∙B = A + ∙В.

Таким образом, сумму любых двух событий можно представить в виде суммы двух несовместных событий.

Геометрическое доказательство представлено на рис. 2.