Построение функций принадлежности на основе экспертных оценок

НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Определение 1. 8 Нечеткой переменной называется

< a, X, C_a >,

где a - наименование нечеткой переменной; X={x} - область ее определения; C_a = {< m_a(x) / x >} - нечеткое множество на X, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной a (ее семантику).

Определение 1.9. Лингвистической переменной называется

< b,T,X, G,M >,

где b - наименование лингвистической переменной; T - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. G – синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами множества T, в частности генерировать новые термы.

M – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. приписать ему нечеткую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества.

Пример 1.7. Рассмотрим пример лингвистической переменной.

Пусть эксперт оценивает толщину выпускаемого изделия с помощью понятий

“малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина";

при этом минимальная толщина. изделия равна 10, а.максимальная 80 Формализация такого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной β -толщина изделия; Т = { α₁, α_2, α₃}= [ малая толщина, средняя толщина, большая толщина]; Х= [10,80].

Пусть нечеткие множества С₁, С₂ И С₃ описывают семантику базовых значений переменной β

Функции принадлеж­ности, соответствующие данным нечетким множествам, показаны на рис.

Тогда произвольные значения – α’ "малая или средняя толщина" и α " - "небольшая толщина" будут определяться нечеткими множествами С’ и C”

с функциями принадлежности, показанными на рис.

.

Лингвистические переменные, у которых процедура. образования но­вых значений G зависит от множества базовых значений Т, назовем синтаксически зависимыми лингвистическими переменными

Наряду с рассмотренными выше синтаксически зависимыми лингвистическими переменными существуют переменные, у которых про­цедура образования новых значений зависит не от множества базовых значений Т, а от области определения Х, Т.е. G = G(x). Например, зна­чение лингвистической переменной "толщина изделия" определено как "близкое к 20 мм" или ''приблизительно к 75 мм". Такие лингвистические переменные назовем синтаксически независимыми.

Построение функций принадлежности на основе экспертных оценок.

При создании нечетких моделей ПР одним из этапов является этап построения функций принадлежности нечетких множеств, описывающих семантику базовых значений лингвистических переменных, исполь­зуемых в модели. Нечеткие модели ПР содержат множество лингвисти­ческих переменных, и множество базовых значений этих переменных конечны. Поэтому для построения функций принадлежности можно воспользоваться методами экспертных оценок.

Рассмотрим основные методы построения функции принадлежности μ_A(х) элементов x Х к нечеткому множеству.

Пусть имеется т зкспертов, часть которых на вопрос о принадлеж­ности элемента х Х нечеткому множеству А отвечает положительно. Обозначим их число через п₁ Другая часть экспертов (п₂ = т – п₁) отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается, что

μ_A(х) = п₁/(п₁ + п₂)

Пример Пусть имеется множество Х = [ 1,2,3,4,5 ] и требуется построить нечеткое множество А, формализующее нечеткое понятие «немного больше двух". Допустим, что результаты опроса шести экспертов показаны в табл.. Тогда получим следующие значения функции принадлежности элементов множества Х нечеткому множеству А: ­

μ_A (1) = 0; μ_A (2) = 0; μ_A (3) = 1;

μ_A (4) = 0,7; μ_A (5) = 0,2..

Необходимо отметить, что данная схема определения функций при­надлежности самая простая, но и самая грубая.

m	x
n1
n2

Более гибкой является процедура построения функция при­надлежности на основе количествен­ного парного сравнения степеней принадлежности [29, 30].

Эта про­цедура допускает использование всего одного эксперта для построения функции принадлежности. Результа­том опроса эксперта является матрица М = ||m _i,j ||, i,j = 1, п, где п ­ число точек, в которых сравниваются значения функции. Число m_ij показывает, во сколько раз, по мне­нию эксперта, μ_A(х_i) больше μ_A(х_j), при этом количество вопросов к эксперту составляет не п², а лишь (п² - п)/2, так как по определению" m_ii = 1 и т_п = l/m_ij. Понятия, которыми оперируют эксперт, и интерпре­тация этих понятий значениями m_ij приведены в табл. 2.

Смысл	mij
) примерно равна μA(хj)
μA(хi) немного больше μA(хj
μA(хi) больше μA(хj
μA(хi) заметно больше μA(хj
μA(хi) намного больше μA(хj
Значения, промежуточные по степени между перечисленными	2,4,6,8

Вычисление значений функции принадлежности μ_A в точках x₂,,x₂,…,x_n производится следующим образом

Другими словами, для определения величин μ_A(х_i) необходимо за­фиксировать произвольно выбранный столбец j матрицы М и вычислить отношение значений элементов т_ij к сумме значений всех элементов столбца j. При правильно проведенном экспертом опросе выбор столбцапрактически не влияет на правильность определения функции принад­лежности.

Пример Пусть для описания расстояния между двумя точками применяется лингвистическая переменная β- "расстояние" с мно­жеством базовых значений Т = I малое, среднее, большое 1. Пусть базовое множество Х = /1, 3, 6, 8/.

Терм "малое" характеризуется не­четкой переменной (малое, Х, С>. Требуется построить функцию принад­лежности μ_С нечеткого множества С, описывающего терм "малое",

Т.е. определить значения μ_С(х), x Х. Опросом экспертов получена следующая матрица парных сравнений:

	1	3	6	8
1	1	5	6	7
3	1/5	1	4	6
6	1/6	1/4	1	4
8	1/7	1/6	1/4	1

Зафиксируем первый столбец матрицы М:

М₁ = [1,1/5,1/6,1/7 ],

По формуле (1.1) получаем

Аналогично вычисляются значения μ_С(3)=0,16, μ_С(6)= 0,11, μ_С(8)=0,08

Таким образом

С= |<0,64/1, <0,16/3>, <0,11/6>, <0,09/8>|

При использовании лингвистической переменной, задаваемой на не­прерывном носителе (интервале действительных чисел), возникает за­дача хранения функций принадлежности (т.е. семантика значений линг­вистической переменной) в памяти ЭВМ. Одним из возможных способов решения данной задачи является представление функции принадлеж­ности в виде стандартной π -функции

μ_A(х) = π(x,η,x₁)

которая имеет следующий вид:

π(x,η,x₁)= {: S(x,x₁ - η, x₁ - η/2, x₁) при x=<x₁

1 - S(x,x₁ - η, x₁ - η/2, x₁) при x>x₁

1

0.5

η - η

x₁

0 при x<=, ξ,

2(x₁ –x)²/ (x – ξ)² при ξ <=x<=, τ

S(x, ξ, τ, x₁ )= 1 – 2(x₁ – x)²/ (x- ξ)² при τ<=x<=x₁

1 x>=x₁

Таким образом, любая функция принадлежности может быть представлена в памяти ЭВМ двумя параметрами: Х₁ - величиной, при которой значение функции равно 1; η - величиной, при которой зна­чение функции равно 0,5 (рис. 1.12).

При использовании введенной выше синтаксически независимой линг­вистической переменной возникает задача определения ее семантики, Т.е. построения функций принадлежности, соответствующих. ее произ­вольным значениям. Рассмотрим подход к определению семантики син­таксически независимой лингвистической переменной, представленный в [27].

Пусть а₁ =<x₁,Х; C₁> и а₂ =<х₂, X; С₂> - два соседних базовых зна­чения синтаксически независимой лингвистической переменной β: а' = <х', Х; С'> - произвольное значение, для которого выполняется усло­вие x₁<=x¹ <=x₂

Обозначим через <φ₁,φ₂ и φ¹ следующие функции:

φ₁(τ)=μ(x₁ +τ);

φ₂(τ)=μ(x₂ +τ);

^φ1(τ)=μ(x¹ +τ);

Можно предположить, что если значения α₁ и α₂ таковы, что φ₁ = φ₂, то и значение а' такое, что φ¹ = φ₁= φ_2.

Далее, если для α₁ и α₂ такое условие не выполняется, то чем ближе значение x¹ к x₁ по сравнению с x₂, тем менее значение функции φ¹ отличается от φ₁ и тем более от значения φ₂ и наоборот.

При заданной функции принадлежностей с помощью стандартных π-функций задача определения произвольного значения а' = <х', Х; С'> -синтаксически независимой лингвистической переменной сводится к определению функции π(x, λ ¹,x¹) по заданным функциям π(x, λ ₁,x₁) и π(x, λ ₂,x₂) то есть к определения параметра λ ¹ по λ ₁ и λ ₂.

Положим, что отношение отклонений λ ¹ от λ ₁ и λ ₂ пропорционально отношению отклонений. x¹ от x₁ и x₂

Тогда

(λ ¹ – λ ₁)/ (λ ¹ – λ ₂) = (x¹ – x₁)/ (x¹ – x₂)

Обозначив

η =(x₂ – x¹)/ (x₂ – x₁) получим λ ¹ = η λ ₁ +(1- η) λ ₂

Очевидно, что λ ¹ = λ ₁ при x¹ = x₁ (значение η =1) и λ ¹ = λ ₂ при x¹ = x₂ (значение η =0)

Пример. Пусть базовыми значениями лингвистической переменной «толщина» являются высказывания «приблизительно 20мм» и «приблизительно 50мм» то есть

а₁ = <20, Х; С₁'> и а₂ = <50, Х₂ С₂>

Вычислим произвольные значения, определяемые выражениями

а'= «приблизительно 25мм) и а^» = «приблизительно 40мм»

μ_С1(х)= π (x,5,20) μ_С2(х)= π(x,11,50)

Тогда η а₁= -5/6,η а₂ = 1/6, λ¹ = 6, λ¹¹ = 10.

Функции принадлежности примут вид

μ_С1(х)= π (x,6,25) μ_С2(х)= π(x,10,40)

. Тогда произвольные значения – α’ "малая или средняя толщина" и α " - "небольшая толщина" будут определяться нечеткими множествами С’ и C”

с функциями принадлежности, показанными на рис. 1.9 и.10.

.

Лингвистические переменные, у которых процедура. образования но­вых значений G зависит от множества базовых значений Т, назовем синтаксически зависимыми лингвистическими переменными

Наряду с рассмотренными выше синтаксически зависимыми лингвистическими переменными существуют переменные, у которых про­цедура образования новых значений зависит не от множества базовых значений Т, а от области определения Х, Т.е. G = G(x). Например, зна­чение лингвистической переменной "толщина изделия" определено как

"близкое к 20 мм" или ''приблизительно к 75 мм". Такие лингвистические переменные назовем синтаксически независимыми.