Рассмотрим приближенные методы решения нелинейных уравнений на примере уравнения .
Для данного уравнения уже выполнено отделение корней. Пусть один из отрезков, содержащих только один корень. Тогда любуюточку отрезка можно принять за приближенное значение корня, при этом
Если задана допустимая погрешность , то задача сводится к задаче отыскания отрезка , содержащего только один корень уравнения и при этом
Метод бисекций. Отрезок делится пополам точкой и далее рассматриваются два отрезка: и . Затем выбирается один из них, для которого выполняется условие теоремы 2, выбранный отрезок переобозначается и снова делится пополам. Получаем систему вложенных отрезков.
Корень считается найденным, когда для последнего отрезка будет выполняться условие За приближенное значение принимается его середина.
Пример 1: Найти корень уравнения методом бисекций с точностью
Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень.
В ячейки А5, В5 (рис. 7) записываем относительные ссылки на исходные концевые точки отрезка. В ячейку С5 записываем формулу со ссылками на ячейки А5, В5, далее вычисляются значения функции ,в качестве аргументов используются ссылки А5, В5, С5.
|
|
Рис. 7. Вид экрана для метода бисекций
В ячейку G5 записывается формула оценки погрешности(рис. 8).
Рис. 8. Формула для заполнения ячейки G5
В ячейке А6 выбирается одно из значений или , для которого выполняется условие теоремы 2 (рис. 9). Аналогичная формула записывается в ячейке В6.
Все остальные ячейки заполняются с помощью маркера автозаполнения до тех пор, пока не появится надпись «корень=»в столбце G.
Рис. 9. Формула для заполнения ячейки А6
Метод хорд. Отрезок делится точкой и далее рассматриваются два отрезка: и . Затем выбирается один из них, для которого выполняется условие теоремы 2, выбранный отрезок переобозначается и снова делится. Получаем систему вложенных отрезков.
Корень считается найденным, когда для отрезка будет выполняться условие За приближенное значение принимается .
Пример 2: Найти корень уравнения методом хорд с точностью
Используем шаблон для вычисления корня методом бисекций (рис. 10). Вносим изменения в ячейку С5, записываем формулу (точка пересечения хорды с осью Ох) и протягиваем ее вниз. В ячейку G6 записываем формулу оценки погрешности и поиска корня, а ячейку G5 оставляем пустой. С помощью маркера автозаполнения находим ответ.
Рис. 10. Вид экрана для метода хорд
Задания для самостоятельного выполнения.
Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Найти корни уравнения методом бисекцийи методом хорд для всех отрезков, содержащих единственный корень.
|
|
Контрольные вопросы
1. Метод бисекций решения нелинейных уравнений.
2. Графическая реализация метода бисекций.
3. Метод хорд решения нелинейных уравнений.
4. Графическая реализация метода хорд.