Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., Hn, обладающая следующими свойствами:
1) все события попарно несовместны: Hi Hj =Æ; i, j =1,2,..., n; i¹j;
2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:
W = .
В этом случае будем говорить, что H 1, H 2,..., Hn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.
Рисунок - Диаграмма Венна
Пусть А – некоторое событие: А Ì W
Тогда имеет место формула полной вероятности:
P(A) = PH1(A)P(H1) + PH2(A)P(H2) +...+ PHn(A)P(Hn)
Доказательство. Очевидно, что:
A = ,
причем все события (i = 1, 2,..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем
P (A) = P () + P () +...+ P ()
Если учесть, что по теореме умножения
P () = ,
где i = 1,2,..., n, то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.
Пример. Партия деталей формируется продукцией, произведенной на трех станках, причем доля первого станка - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Доля несоответствующих единиц продукции каждого станка составляет соответственно 3%, 2% и 1%. Какова вероятность того, что случайно отобранная из партии единица продукции окажется несоответствующей?
Пусть событие H1 состоит в том, что единица продукции произведена на первом станке, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Тогда
P(H1) = 3/10,
P(H2) = 5/10,
P(H3) = 2/10.
Пусть событие А состоит в том, что единица продукции оказалась несоответствующей; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбрана несоответствующая лампа из ламп, произведенных на i -ом станке. Из условия задачи следует:
P (A/H1) = 3/100
P(A/H2) = 2/100
P(A/H3) = 1/100
По формуле полной вероятности получаем
При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в процессе испытаний. Например, пусть при N испытаниях событие А фактически появилось f раз. Число f носит название частоты появления события А либо статистического веса ( согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 частота – это число наступлений события данного типа или число наблюдений, попавших в данный класс). Отношение частоты события А к общему числу испытаний n носит название частости события или относительной частоты:
mA = f/n
Согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 относительная частота -это частота, деленная на общее число событий или наблюдений.
Пример. На станке обработано 100 деталей (n = 100). При измерении деталей оказалось, что 93 из них имеют размеры, лежащие в пределах поля допуска (fA = 93), а размеры остальных выходят за пределы поля допуска (fB = 7). Следовательно, частость события А, заключающегося в появлении соответствующих деталей на 100 испытаниях, составляет
mA = 93/100
Частость события В, заключающегося в появлении брака
mB = 7/100
Следует отметить, что если число опытов достаточно велико, то считают, что вероятность события приблизительно равна относительной частоте.
В некоторых случаях более предпочтительно использовать накопленную частоту N, показывающую количество единиц статистической совокупности, у которых числовое значение не превышает заданного (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 накопленная кумулятивная частота -это число наблюдений из множества, имеющих значения, которые меньше заданного значения или равны ему). По мнению авторов, само терминологическое понятие « накопленная кумулятивная частота» в некоторой степени избыточно, так как слова «накопленная» и «кумулятивная» являются синонимами.