Основные понятия теории вероятности и математической статистики

Центральными понятиями в теории вероятности являются событие и испытание.

Испытанием называется практическое осуществление какого-либо комплекса условий.

Событием называется явление, происходящее в результате осуществления определенного комплекса условий.

События, происходящие при многократном повторении испытаний, называются массовыми. Если при каждом испытании неизбежно происходит события А, то такое событие называется достоверным. Если в условиях данного испытания некоторое событие В заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если же при испытаниях может произойти либо событие А, либо В (либо С и т.д.), то такие события называются возможными или случайными.

Следовательно, случайным называется такое событие, которое при испытании может либо наступить, либо не наступить.

Пример. Если в ящике находится 200 деталей и среди них две детали несоответствующие требованиям технических нормативных правовых актов, то извлечение из ящика несоответствующей детали будет случайным событием, так как оно может наступить или не наступить.

Для количественной оценки возможности осуществления случайного события пользуются термином вероятность. По классическому определению вероятность события Р(А) представляет собой отношение числа случаев m, благоприятствующих этому событию, к числу всех возможных случаев n данного класса испытаний, т.е.

при этом события должны быть равнозначны, несовместимы и независимы (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 вероятность – это действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию).

Под несовместимыми понимаются такие события, которые не могут появляться вместе и одновременно; под независимыми событиями понимаются такие, появление которых не зависит от того, какое событие произошло перед этим.

Два события в одном опыте называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. В противном случае они называются зависимыми.

Несколько событий называются независимыми, если любые два из них независимы.

Под данным классом испытаний подразумевается совокупность неизменных условий, осуществление которых приводит к тому или иному событию.

Пример: Пусть А – выпадение четного числа очков при бросании кости один раз. Тогда

Р(А) = 3/6 = 1/2

Вероятность события показывает меру его возможности: чем больше вероятность события, тем событие более вероятно (чаще наблюдается). В данном случае Р(А) = 1/2 означает, что примерно в половине случаев число очков при бросании игральной кости будет четно (и примерно в половине случаев – нечетно).

Пример. При произвольном бросании монеты вероятность того, что она упадет той стороной, где изображен герб, составляет 1/2, так как число случаев, благоприятствующих этому событию, равно 1 (монета имеет только одну сторону с гербом), а число всех возможных случаев данного класса испытаний равно 2 (либо герб, либо надпись). При этом оба случая равновозможны (имеется одинаковая возможность выпасть гербу и надписи), несовместимы (появление герба исключает возможность появления надписи) и независимы, так как появление герба не зависит от того, что перед этим выпало — герб или надпись.

Пример. В ящике имеется 200 деталей, все детали замаркированы с № 1 по № 200. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет иметь № 27.

Очевидно, что число случаев, благоприятствующих данному событию, равно 1, а число всех возможных случаев данного класса испытаний равно 200. При этом все случаи равнозначны, несовместимы и независимы друг от друга. Тогда

Р(А) = 1/200.

Пользуясь классическим определением понятия вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события теоретически, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выполнимо, так как на практике не всегда можно соблюдать такие условия, как равновозможность, независимость и несовместимость. По этой причине наравне с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности, согласно которому под вероятностью понимается отношение частоты появления события f_A к общему количеству испытаний n: