Моделирование тенденции

Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции в целом. Для этой цели наиболее эффективны и дают хорошие результаты такие методы как кумулятивный Т-критерий.

Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и ее математического выражения – тренда.

Выдвигается основная гипотеза (Н₀:) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчетное значение критерия определяется по формуле:

, (2.5)

где:

Z_n – накопленный итог отклонений эмпирических значений уровней исходного ряда динамики от среднего его уровня;

– общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле:

;

y_t– исходные значения признака;

– средний уровень исходного ряда динамики;

n – длина временного ряда (число уровней).

Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчета значений критерия можно использовать нормированное отклонение:

. (2.6)

Расчетные значения кумулятивного Т-критерия и t_p сравниваются с критическими при заданном уровне значимости a. Если расчетное значение T_p превышает критическое (табличное) значение критерия (Т_кр), то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается, следовательно в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если Т_р < Т_кр или t_p < t_кр, признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Пример. Имеются следующие данные об объеме вложений в ценные бумаги финансовой компании за период январь – октябрь 2009 г. Необходимо выявить тенденцию в изменении данного показателя.

Промежуточные расчеты реализации кумулятивного
Т-критерия представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Промежуточные расчетные значения слагаемых
кумулятивного Т-критерия

Месяц	y t		y t –
Январь	78,4	6 146,56	-19,58	-19,58	383,38
Февраль	75,4	5 685,16	-22,58	-42,16	1 777,47
Март	76,1	5 791,21	-21,88	-64,04	4 101,12
Апрель	76,6	5 867,56	-21,38	-85,42	7 296,58
Май	85,1	7 242,01	-12,88	-98,30	9 662,89
Июнь	101,4	10 281,96	3,42	-94,88	9 002,21
Июль	110,6	12 232,36	12,62	-82,26	6 766,71
Август	117,9	13 900,41	19,92	-62,34	3 886,28
Сентябрь	126,2	15 926,44	28,22	-34,12	1 164,17
Октябрь	132,1	17 450,41	34,12	0,00	0,00
Итого	979,8	100 524,08	-	-	44 040,81

= = = 97,98;

s = 100 524,08 – (97,98)² × 10 = 4 523,28.

Соответственно, подставляя в формулу полученные значения, получаем:

Т_р = = 9,74

Так как Т_р (9,74) > Т_кр (0,05; n=10; T_кр = 4,55), то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается, следовательно во временном ряду объема вложений в ценные бумаги финансовой компании тенденция существует.

Гипотезу о форме тренда также можно проверить с помощью кумулятивного T-критерия, где:

Z_n =S (y_t – ) – накопленные суммы отклонений от тренда.

Фактическое значение Т_р сравнивается с критическим для соответствующей функции f(t). Критические значения табулированы (приложение 5).

Расчет статистической характеристики критерия Т_р для проверки гипотезы о форме тренда рассмотрим на примере линейной функции (табл. 2.3).

Для временного ряда валового надоя молока линейная функция равна: `y_t = 607,8 – 10,2t. Согласно проведенным расчетам фактическое значение Т_р = 4,48. Оно больше критического T_0.95(10) = 1,48, следовательно, линейная функция хорошо аппроксимирует тенденцию изменения валового надоя молока.

Аналогично рассчитанное значение Т_р = 0,98 для параболы II порядка `y_t = 594,93 – 10,2t + 0,39t², что заметно ниже критического значения. Это дает основание с вероятностью 95% признать, что парабола не подходит для описания тенденции валового надоя молока.

Таблица 2.3

Расчет кумулятивного критерия для проверки гипотезы
о линейной форме тренда

Годы	Валовой надой молока, тыс. тонн, yt			Zn	Z2n	et2
			-6
			-19
			-12	-8
			-14	-22
			-10	-32
				-23
Итого				-

Тенденция исходного временного ряда может быть трех видов: тенденция среднего уровня, дисперсии и автокорреляции.

Тенденция среднего уровня может быть выражена с помощью графического метода. Аналитически тенденция выражается с помощью некоторой математической функции f(t), вокруг которой варьируют эмпирические значения исходного временного ряда изучаемого социально-экономического явления. При этом теоретические значения, то есть значения, полученные по трендовым моделям в отдельные моменты времени, являются математическими ожиданиями временного ряда.

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Тенденция автокорреляции выражает тенденцию изменения корреляционной связи между отдельными, последовательными уровнями временного ряда.

Проверка на наличие тенденции среднего уровня и дисперсии может быть произведена методом сравнения средних уровней временного ряда и методом Фостера-Стюарта.

Метод сравнения средних уровней временного ряда предполагает, что исходный временной ряд разбивается на две приблизительно равные части по числу членов ряда, каждая из которых рассматривается как самостоятельная, независимая выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. При этом решаются две задачи.

I. Если временной ряд имеет тенденцию, то средние, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно, значимо различаться между собой. Если же расхождение незначимо, несущественно и носит случайный характер, то временной ряд не имеет тенденции средней.

Таким образом, проверка гипотезы (Н₀:) о наличии тенденции в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей, то есть:

Н₀: (2.7)

H₁: .

Гипотеза проверяется на основе t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

, (2.8)

где:

и – средние уровни временного ряда согласно порядка разбиения;

n₁ и n₂ – число уровней временного ряда, соответственно первой и второй части;

и – дисперсия первой и второй части.

Расчетное значение (t_p) критерия сравнивается с его критическим (табличным) значением (t_кр) при уровне значимости a и числе степеней свободы n = n – 2.

Если t_p > t_кр, то гипотеза о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно расхождение между вычисленными средними значимо, существенно и носит неслучайный характер, и, следовательно, во временном ряду существует тенденция средней и существует тренд.

II. Если временной ряд имеет тенденцию, то дисперсии, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно и значимо различаться между собой. Если же расхождение между ними не значимо, то временной ряд не имеет тенденции дисперсии. Таким образом проверяется гипотеза (H₀:) об отсутствии тенденции в дисперсиях в исходном временном ряду, которая сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, то есть:

H₀: ; (2.9)

H₁: .

Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по формуле:

, если

и , если . (2.10)

Проверка гипотезы осуществляется на основе сравнения расчетного и критического значений F-критерия, полученного при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы n₁ и n₂.

Если , то n₁ = n₂ – 1;

n₂ = n₁ – 1.

Если , то n₁ = n₁ – 1;

n₂ = n₂ – 1. (2.11)

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей отвергается, если F_p > F_кр. Следовательно, расхождение между вычисленными дисперсиями значимо, существенно, носит неслучайный характер и во временном ряду существует тенденция в дисперсиях и существует тренд.

Следует заметить, что данный метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Если же временной ряд меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции может оказаться близкой к середине ряда, в силу этого средние двух отрезков ряда будут близки и проверка может не показать наличия тенденции.

Пример. Имеются следующие данные о числе зарегистрированных разбоев в РФ (в тыс.):

Таблица 2.4

Годы
Число разбоев	16,5	18,5	30,4	34,2	37,9	37,7	34,6	34,3	38,5	41,1

Необходимо проверить наличие тенденции в данном ряду динамики методом сравнения средних уровней ряда динамики.

Разобьем исходный ряд динамики на 2 равные части:

– в первую войдут значения показателя с 1999 по 2003 гг.,

– во вторую – с 2004 по 2008 гг.

Рассчитаем выборочные характеристики:

Если во временном ряду существует тенденция средней, то средние, вычисленные для двух совокупностей, должны значимо различаться между собой.

Выдвигаем гипотезу , проверяем ее на основе t-критерия

Стьюдента:

Следовательно гипотеза о равенстве средних двух совокупностей отвергается с вероятностью ошибки 5%, средние существенно различаются между собой, в ряду динамики числа зарегистрированных разбоев в РФ существует тенденция средней и, следовательно, во временном ряду существует тренд.

Проверим гипотезу H₀ о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей на основе F-критерия Фишера-Снедекора:

Так как , то гипотеза H₀ о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей отвергается с вероятностью ошибки 5%, следовательно расхождение между дисперсиями существенно, во временном ряду числа зарегистрированных разбоев в РФ существует тенденция дисперсий, следовательно, во временном ряду существует тренд.

Метод Фостера-Стюарта основан на двух характеристиках S и d.

,

,

где:

,

. (2.12)

Суммирование производится по всем членам ряда. Значения U_t и l_t определяются путем сравнения уровней исходного ряда динамики со всеми предыдущими.

Если значение уровня ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине U_t присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0. Таким образом:

(2.13)

Наоборот, если значение уровня ряда меньше всех предыдущих, то l_t присваивается значение 1.

Таким образом:

(2.14)

Показатели S и d асимптотически нормальные и имеют независимые распределения, но на них влияет порядок расположения уровней во времени. Показатель S применяется для обнаружения тенденции изменения в дисперсиях, d – для обнаружения тенденции в средней. После того, как для исследуемого ряда найдены фактические значения d и S, проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности (d – 0) и (S – m). Гипотезы проверяются на основе t-критерий Стьюдента, то есть:

, (2.15)

, (2.16)

где:

m – математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней во времени;

s₁ – средняя квадратическая ошибка величины S;

s₂ – средняя квадратическая ошибка величины d.

Значения m, s₁, s₂ табулированы.

Если t_d > t_кр (a; n = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается, следовательно в исходном временном ряду существует тренд.

Если t_s > t_кр (a; n = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях отвергается, следовательно существует тенденция дисперсии и существует тренд.

Пример. Проверим наличие тенденции во временном ряду числа зарегистрированных разбоев в РФ методом Фостера-Стюарта.

Отразим в таблице , , , .

Таблица 2.5

Расчетная таблица для определения тенденции в ряду
динамики числа зарегистрированных разбоев
в РФ методом Фостера-Стюарта

Год
	16,5	-	-
	18,5
	30,4
	34,2
	37,9
	37,7
	34,6
	34,3
	38,5
	41,1

Получили, что S=6, d=6

Выдвигаем две гипотезы:

1) Гипотезу об отсутствии тенденции в средней

2) Гипотезу об отсутствии тенденции в дисперсиях

Эти гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

По таблице значений средней и стандартных ошибок при n=10 находим .

Так как , то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается с вероятностью ошибки 5%, следовательно, средние существенно различаются между собой, во временном ряду числа зарегистрированных разбоев в РФ существует тенденция средней и, следовательно, во временном ряду существует тренд.

Так как , то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях числа зарегистрированных разбоев в РФ не противоречит опытным данным, следовательно, дисперсии различаются незначительно, тенденция дисперсий во временном ряду отсутствует, тренда в данном ряду не существует.

Фазочастотный критерий знаков разностей Валлиса и Мура. По данному критерию предполагается расчет разностей уровней временного ряда (y_t+1 – y_t). Нулевая гипотеза состоит в утверждении, что знаки этих разностей образуют случайную последовательность. Последовательность одинаковых знаков разностей называется фазой и рассчитывается число фаз h (без первой и последней фазы). Если знаки образуют случайную последовательность, то фактическое значение критерия запишется формулой (2.17).

, (2.17)

При больших выборах (n>30) поправка на непрерывность может быть опущена и формула расчета будет следующая:

, (2.18)

где:

n – число уровней временного ряда, распределенных нормально;

t_ф – фазочастотный критерий разностей;

h – число фаз

Если t_ф > 3, следовательно, данная последовательность случайна.

Пример. Для иллюстрации данного метода рассмотрим данные строительной фирмы о производстве продукции по дням месяца (табл. 2.6).

Таблица 2.6