Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы

Рассмотрим произвольную точку М(х;у), лежащую на данной гиперболе. Если r₂ и r₁—фокальные радиусы этой точки, то

(1)

Оказывается для выражения фокальных радиусов можно ука­зать другие формулы, свободные от иррациональностей.

В самом деле, из равенства (8) п° 84 имеем:

здесь знак плюс относится к случаю, когда точка М находится на правой ветви гиперболы. Полагая и принимая во внимание второе из равенств (1), получим:

(2)

Чтобы выразить первый фокальный радиус, воспользуемся основным соотношением: r₁—r₂ = ±2a, где знак плюс также относится к точкам правой ветви гиперболы. Из этого со­отношения находим . Итак, для точек правой ветви гиперболы

, (3)

для точек левой ветви

, (4)

Эти формулы существенно используются в следующем параграфе.