Исследование формы параболы

Постараемся при помощи анализа уравнения

(1)

уяснить себе форму параболы и тем самым обосновать выше­указанное изображение ее на чертеже.

Так как уравнение (1) включает у только в четной сте­пени, то парабола, которую оно определяет, симметрична относительно оси Оx :. Поэтому нам достаточно изучить лишь часть ее, лежащую в верхней полуплоскости. Эта часть па­раболы определяется уравнением

(2)

При отрицательных значениях x уравнение (2) дает мнимые значения у. Следовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы нет. При x= 0 получаем y=0. Таким образом, начало координат лежит на параболе и является самой «ле­вой» ее точкой. Пусть теперь х возрастает, начиная от нуля; как видно из уравнения (2), при этом у будет все время возрастать. Из уравнения (2) видно также, что если х то и у .

Таким образом, переменная точка М(х; у), описывающая рассматриваемую часть параболы, исходит из начала коор­динат и движется «вправо» и «вверх»; удаление точки М как от оси Оу «вправо», так и от оси Ох «вверх» является бесконечным (рис. 62).

Замечание. Существенны еще два свойства пара­болы: 1) направление ее в точке O(0; 0) перпендикулярно к оси Ox 2) часть параболы, лежащая в верхней полуплоскости, своей выпуклостью обращена «вверх». Рис. 62 выполнен с учетом этих свойств. Мы не будем, однако, доказывать, что они действительно имеют место, так как такого рода исследование линий наиболее естественно про­водить средствами математического анализа.

После того, как мы установили форму части параболы, лежащей в верхней полуплоскости, установление формы целой параболы уже не требует ни малейшего труда. Для этого до­статочно произвести зеркальное отражение относительно оси Ох. Общее представление о целой па­раболе, заданной уравнением дает рассмотренный ранее рис. 61

рис.62.

Ось симметрии параболы обыч­но называется просто ее осью (в данном случае она совмещена с осью Ох). Точка, в которой парабола пересекает свою ось, на­зывается ее вершиной (в данном случае вершина совпадает с на­чалом координат). Число р, т. е. параметр параболы, выражает расстояние от фокуса до директрисы. Геометрический смысл параметра можно описать еще следующим образом. Возьмем какое-нибудь определенное значение абсциссы, например х =1, и найдем из уравнения (1) соответствующие значения ординаты: .Мы получаем на параболе две точки и симметричные относитель­но оси; расстояние между ними равно . Таким об­разом, есть длина хорды параболы, проведенной пер­пендикулярно к оси на расстоянии в одну единицу длины от вершины. Мы видим, что длина этой хорды (= ) тем больше, чем больше р. Следовательно, параметр р харак­теризует «ширину» области, ограниченной параболой, при условии, что эта «ширина» измеряется перпендикулярно к оси на определенном расстоянии от вершины.

Уравнение

(3)

(при положительном р) сводится к уравнению у² = 2рх путем замены х на – х т. е. путем преобразования координат, которое соответствует изменению направления оси Ох на противоположное. Отсюда следует, что уравнение у² = 2рх также определяет параболу, ось которой совмещена с осью Ох, а вершина—с началом коорди­нат, но которая расположена в ле­вой полуплоскости (так, как показано на рис. 63).

По аналогии с предыдущим мы можем утверждать, что каждое из уравнений

(р> 0) определяет параболу с верши­ной в начале координат, расположен­ную симметрично относительно оси Оу (эти уравнения параболы, как и урав­нения (1) и (3), называют каноническими). Параболу, опреде­ляемую уравнением , мы будем называть восходящей.

Рис. 64.

Параболу, определяемую уравнением х²= - 2ру — нисходящей (см. со­ответственно рис. 64, а и б): эти названия естественны и не требуют разъяснений.

В AutoCAD параболу строят аналогично гиперболе, то есть с помощью сплайна по нескольким узловым точкам, которые вычисляют по уравнению параболы.