2015-06-04
521
Этот критерий относится к группе частотных и был предложен в 1938 г. А. Михайловым. Он базируется на известном в теории функции комплексного переменного принципе аргумента. Характеристический полином замкнутой системы представим в виде 
, где 
– корни уравнения 
.
Сделаем замену 
, тогда 
. Приращение аргумента вектора 
при изменении частоты 
от 
до 
будет равно 
для левого корня и 
для правого корня (рис. 5.1). Приращение аргумента вектора 
, имеющего 
правых и 
левых корней, будет равно 
, а при изменении от 0 до – в 2 раза меньше, т.е. 
.
Рис. 5.1
| Из последнего выражения следует, что для устойчивой САУ  и
 . (5.12)
Полином D (s) после замены  представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого зависят от частоты :
 ,
где  ,
 .
|
Изменяя от нуля до , на комплексной плоскости строится годограф, который называется кpивой Mиxайлова. При 
он всегда будет находиться на действительной оси в точке 
, а при 
значения Х и Y равны или 
, т.е. годограф будет уходить в бесконечность в каком-либо квадранте комплексной плоскости.
Кpитepий Миxайлова. Для устойчивости линейной системы необходимо
и достаточно, чтобы приращение аргумента функции 
при изменении
от нуля до равнялось 
, что означает последовательное прохождение кривой Михайлова n квадрантов против часовой стрелки в комплексной
плоскости.
Обычно критерий Михайлова применяется после проверки необходимого условия устойчивости (5.3).
На рис. 5.2 представлен ряд кривых Михайлова для систем различного порядка.
Кривые 1, 2 соответствуют устойчивым системам при n = 3, 4 соответственно, кривая 3 – неустойчивой системе при 
, так как нарушена последовательность прохождения квадратов комплексной плоскости.
Рис. 5.2
| Рассмотрим определение с помощью кривой Михайлова границ устойчивости. Система будет находиться на границе устойчивости, если чисто мнимая величина  будет являться корнем уравнения  , т.е. кривая Михайлова должна проходить через начало координат. При этом при  имеем апе-
|
риодическую границу, при 
– колебательную, 
соответствует бесконечному корню. При этом следует проверить, чтобы все остальные корни были левыми. Такую проверку можно осуществить, исследуя соответствующий график кривой Михайлова в точке пересечения начала координат. Если малые деформации кривой приводят к устойчивой системе, то это соответствует границе устойчивости.
На рис. 5.3 представлены два годографа, проходящие через начало координат.
Рис. 5.3
| Для кривой 1 малые деформации ее в начале координат приведут к устойчивой системе, что соответствует границе устойчивости, а для кривой 2 система при малых деформациях графика все равно будет неустойчивой.
Пример 5.4. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид  . Характеристический полином замкнутой системы будет  и соответственно  . При любом
|
, 
кривая Михайлова при 
будет начинаться на действительной оси в точке с координатами (K, j 0) и всегда проходить последовательно первый и второй квадранты комплексной области, так как мнимая часть всегда положительна, а действительная с ростом W меняет знак с плюса на минус.
Система при любых K > 0, T > 0 всегда устойчива, что совпадает с результатом примера 5.1.
