Строение простого алгебраического расширения

Определение: Число z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

Числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

К алгебраическим числам относятся все рациональные числа, так же .

Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, то есть сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел является так же алгебраическим числом.

Определение: Поле L называется расширением поля K, если K является подполем в L.

Расширение L поля K называется конечным если расширение (Дим L до поля K называется степенью расширения L)

Определение: Любое конечное расширение поля является алгебраическим.

Замечание: Если K-это поле, а K[x] – кольцо многочлена, то факторкольцо L является полем тогда и только тогда, когда многочлен f(x) не приводим над полем K. В этом случае L является конечным расширением поля K степени n. Это простое расширение.

Теорема: Если L расширение поля K, M-расширение поля L, а M конечное расширение поля K, то расширения L над K и M над L-конечное.

Теорема: Если поле L порождается над K конечным числом алгебраических элементов то оно является конечным расширением поля K.

Теорема: Поле алгебраических чисел (всех комплексных чисел, являющихся корнями многочленов с рациональными коэффициентами ) алгебраически замкнуто.