2015-06-04
302
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.
Пример. Площадь 
прямоугольника со сторонами, длины которых равны 
и 
, выражается формулой
.
Каждой паре значений и соответствует определенное значение площади . есть функция двух переменных.
Пример. Объем 
прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны , , 
, выражается формулой
.
Здесь есть функция трех переменных , , .
Пример. 
Здесь 
есть функция четырех переменных , , , 
.
Определение. Множество всех упорядоченных наборов 
действительных чисел 
называется 
-мерным арифметическим пространством и обозначается Rn, а его элементы – точками пространства Rn (
мерными точками). Числа при этом называют координатами точки . Точку 
называют началом координат.
Пусть DÌ Rn — произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства.
Определение. Числовой функцией(или отображением) 
от переменных, определенной на множестве D называется закон, по которому каждой точке 
Î D ставится в соответствие некоторое вполне определенное действительное число 
.
|
|
|
Обозначения: : Rn®R или .
Множество D при этом называют областью определения, а множество
R | 
, 
D}— множеством значений функции = 
.
В частном случае при 
функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости.
Частное значение функции 
при 
, 
обозначают 
, 
, и т.д.
Функция двух переменных и может быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисления по значениям и ) и другими способами.
Функцию двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве при выбранной декартовой системе координат 
как множество точек пространства 
ÎR3, координаты которых удовлетворяют уравнению , которое, вообще говоря, есть уравнение некоторой поверхности в R3. Проекцией этой поверхности на плоскость 
является область определения D 
. Каждый перпендикуляр к плоскости пересекает поверхность не более чем в одной точке (в силу однозначности функции).
Замечание. Функцию трех и более переменных изобразить графически невозможно.
Пример. Найти область определения функции 
.
Решение. Аналитическое выражение 
имеет смысл при любых действительных значениях и . Следовательно, областью определения является вся числовая плоскость т.е. D = R2.
Пример. Найти область определения функции 
.
Решение. Аналитическое выражение 
имеет смысл при 
, следовательно, областью определения этой функции являются I и III четверти плоскости , включая оси 
и 
, т.е. область, заштрихованная на рисунке. 
|
|
|
Пример. Найти область определения функции 
.
Решение. Для того, чтобы имело действительное значение, необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное число, т.е. и должны удовлетворять неравенству 
или 
.
Все точки 
, координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга, т.е. область, заштрихованная на рисунке. 
Пример. Найти область определения, множество значений функции 
, построить график.
Решение. Область определения этой функции D = R2, множество значенийЕ 
. Графиком данной функции в пространстве R3 является параболоид вращения.
Пример. Найти область определения и множество значений функции 
.
Решение. Данная функция определена, если 
или 
, откуда D 
{ 
R3 | }, т. е. областью определения D данной функции является множество точек открытого трёхмерного шара радиуса 
, а Е(
.
