2015-06-04
5890
Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезок любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
Решение: Пусть М(х; у) — произвольная точка кривой, уравнение которой у = f(x). Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (рис. 1).
Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: tga есть угловой коэффициент касательной; в точке М(х;у) он равен у', т.е. у' = tga.
Из рисунка видно, что tg(ÐMBC) = МС/МВ. Но tg( Ð MBC) = tg(180° - a ) = - tga, МС=у. По условию задачи AM = MB, следовательно, ОС = CВ = х.
Таким образом, получаем 
или 
.Решением полученного дифференциального уравнения является функция 
(гипербола). Решение будет приведено в примере 4.
