В) Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

F(x;y;y') = 0. (1)

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у'. Если уравнение (1) можно разрешить отно­сительно у', то его записывают в виде

у' = f(х;у) (2)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно произ­водной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.

Замечание. Уравнение (2) устанавливает связь (зависимость) между коор­динатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у'= f(x; у) дает совокупность направлений (поле направлении) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по­рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на­зывается изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближен­ного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по­лучить, если положить у' = с, т. е. f(x; у)= с.

Пример 1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения у' = 2х.

Решение: Уравнение изоклин этого ДУ будет 2х = с, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу (х = с/2).

В точках прямых проведем отрезки, обра­зующие с осью Ох один и тот же угол a, тангенс которого равен с.

Так, при с = 0 имеем х = 0, tga = 0, поэтому a = 0;

при с = 1 уравнение изоклины х = 1/2, поэтому tg a = 1 и a = 45°;

при с = -1: х = -1/2, tg a = -1 и a = -45°;

при с = 2: х = 1, tg a = 2 и a = arctg2» 63° и т. д.

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (рис. 2), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол.

Итак, решение задач 1, 2, 3 привело нас к понятию дифференциального уравнения.