Интегрирование простейших иррациональных функций

Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций

Методом замены переменной интегралы от рациональных функций можно привести интегралы вида:

где символ R означает, что над аргументами такой функции производятся рациональные операции. Если в интегралах такого вида сделать подстановку:

где

k = HOK (n,..., s) - наименьшее общее кратное “показателей корней”, то ясно, что все аргументы функции R, а также dx можно выразить, используя только целые степени переменной t. Это означает, что подынтегральная функция примет вид рациональной дроби.

Пример. Привести к рациональному интеграл:

Используем подстановку:

Подставляя в исходный интеграл, получаем:

(Далее нужно выделить целую часть и проинтегрировать полученную сумму).

Пример. Привести к рациональному интеграл:

Используем подстановку:

Выразим отсюда х:

Продифференцировав это выражение, найдем dx:

Подставляя в исходный интеграл, получим:

(Далее надо использовать алгоритм интегрирования рациональной функции).