В качестве общей рекомендации при интегрировании выражений, содержащий квадратный трехчлен ax2 + bx + c, можно указать на целесообразность применения к нему преобразования, известного из школьного курса математики как “выделение полного квадрата”, например:
Это означает, например, что интегралы вида
с помощью простейших преобразования и замены переменных можно привести к одному из простейших двух типов:
, при . при .
Разделив затем почленно подынтегральные выражения, получим два табличных интеграла. Заметим, что в некоторых случаях “избавиться от иррациональности” помогают так называемые тригонометрические подстановки:
а) если подынтегральная функция содержит выражение вида ,
можно использовать замены: x = a·cost или x = a·sint;
б) для интегралов, содержащих выражение , можно использовать подстановки:
x = a·tgt или x = a·ctgt;
в) если под знаком интеграла есть выражения , можно сделать замены:
или и т.д.
Пример. Вычислить интеграл
Выделяем полный квадрат:
Сделаем подстановку:
|
|
Подставляя в исходный интеграл, получим:
(возвращаемся к “старой переменной”)
Пример. Вычислить интеграл:
Применяем одну из тригонометрических подстановок: x = 2sint; dx = 2costdt.
Подставив в исходный интеграл, получаем:
Сделав “обратную замену”, получим:
Итак, основным методом интегрирования простейших иррациональных функций является метод замены переменной.
2. Интегрирование выражений, содержащих
тригонометрические функции
а) Интегралы вида: где m, n - целые числа.
Интегрирование таких выражений сводится к нескольким случаям.
I. Если m и n - четные положительные числа, то можно “понизить степень”, используя известные формулы тригонометрии:
Пример. Вычислить интеграл:
Решение. “Понижаем степень” синусов:
II. Если хотя бы одно из чисел m и n (например, n) положительное нечетное, то можно поступить следующим образом: n = 2k + 1, тогда:
и можно делать подстановку sin x = t.
Ясно, что в случае m = 2k + 1 подынтегральное выражение можно привести к виду, позволяющему сделать замену cosx = t.
Пример.
{замена sin x = t }
Заметим, что такие способы применимы и в случаях, если подынтегральная функция имеет вид R(sinx; cosx) и нечетна относительно одного из своих аргументов sin x или cos x. Если же функция R(sinx; cosx) не изменяется при одновременной замене sin x на (-sin x) и cos x на (-cos x), то можно применить подстановку tg x = t.
Пример. Вычислить интеграл:
1) sin x - в нечетной степени, поэтому подынтегральное выражение можно “выразить через косинус”:
{замена cos x = t }
2) cos x - в нечетной степени, значит можно поступить следующим образом:
3) При замене sin x на (-sin x) и cos x на (-cos x) подынтегральная функция не изменяется:
|
|
поэтому можно сделать замену tgx = t, тогда по известным формулам тригонометрии:
Отсюда получаем:
Подставляя в исходный интеграл, получим:
б) Интегралы вида:
При вычислении таких интегралов можно использовать формулы преобразования произведений тригонометрических функций в суммы:
Например:
Таким образом, интегрирование тригонометрических функций осуществляется методом непосредственного интегрирования или подставок.