Выражение вида
называется неопределенным интегралом непрерывной функции f(x), где
– значок интеграла.
– подынтегральная функция
– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.
– подынтегральное выражение.
– первообразная функция.
– множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .
Решить интеграл – это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Таблица интегралов элементарных фикций
Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? превратился в функцию .
Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:
Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.
|
|
Вернемся к тому же табличному интегралу .
Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:
– исходная подынтегральная функция.
Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.
Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:
Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.
свойства неопределенного интеграла:
1. , где – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
2. – интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.
Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение:
(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:
(2) Согласно правилу , выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
|
|
! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, – это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!
(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и .
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции , она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл – частный случай этой же формулы: .
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.
Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись.
Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:
Его необходимо раскрыть, и с формально-технической точки зрения – это почти то же самое, что найти производную. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :
Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.
Дифференциал раскрывается следующим образом:
1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .
Например:
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного , .
А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?
Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно.
(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.
(2) Вносим в скобку, избавляясь от произведения.
(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).
(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .
(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе ! Не нужно представлять ее в виде !
Проверка:
Пример 5
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?
Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель: